Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,
Je ne suis pas d'accord avec l'explicatiion de @LCTD.
Pour savoir pourquoi ça marche pour intégrer et pas pour dériver, il faut revenir aux démonstrations et se souvenir qu'un d.l. à l'ordre $n$ en $0$ de $f$, c'est $f(x)=P(x)+x^n\epsilon(x)$ avec $\lim_{x\to 0} \epsilon(x) =0$, où $P$ (la partie régulière) est un polynôme de degré $\leq n$ (et $f$ n'est pas forcément dérivable $n$ fois à l'origine !).
On peut intégrer $\int_0^x f(t)\,dt$ et vérifier que c'est $\int_0^x P(t)\,dt + x^{n+1} \phi(x)$ avec $\lim_{x\to 0} \phi(x) =0$. Par contre si on dérive, il y a un os parce qu'il n'y a aucun contrôle sur un éventuel $\epsilon'(x)$, d'ailleurs rien ne dit que $\epsilon$ est dérivable !
Regardons un exemple simple : $f(x)=x^2\cos(1/x)$ que l'on prolonge en $0$ par $f(0)=0$. On a bien $f(x) = 0 + o(x)$. Mais si on dérive , $f'(x)= \sin(1/x)+2x\cos(1/x)$ pour $x\neq 0$ et $f'(0)=0$. La dérivée de $f$ n'est pas continue en $0$, on n'a pas $f'(x)=0+o(1)$.

PS. Fred a répondu pendant que j'écrivais, et nos réponses concordent pour l'essentiel. Je dirais plutôt qu'on peut intégrer une fonction continue, mais pas la dériver.

Rebonjour, mais je ne comprends pas pourquoi on a le droit de primitiver un DL celui de 1/1+x par exemple et avoir celui de ln(1+x) comme ça mais on peut pas dériver, je veux savoir où ça bloque parce qu'avec votre explication, je ne vois pas comment on pourrait primitiver un DL si ce n'est pas une fonction ?

Bonjour à tous, quelqu'un pourrait-il me donner un argument compréhensible par un PCSI qui justifie qu'on a pas le droit de dériver un DL.

Bonne journée,
Merci