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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)

Borassus
05-10-2024 21:41:22

Comme les aires des triangles sont 2 fois, 3 fois, 4 fois, 5 fois la petite base, on peut généraliser le raisonnement :

Soit $b$ la petite base.

$\dfrac {bh_j}{2} = 2b \; \Longrightarrow \; h_j = 4$

$\dfrac {x \times h_b}{2} = 4b \; \Longrightarrow \; h_b = \dfrac {8b}{x}$

L'aire du trapèze est égale à
$\dfrac {x + b}{2} \left(4 + \dfrac {8b}{x} \right) = 2b + 3b + 4b + 5b = 14b$

Ce qui amène aux équations successives

[tex]\dfrac {(x + b)(4x + 8b)}{2x} = 14b[/tex]

[tex]x^2 + 12bx + 8b^2 = 28bx[/tex]

[tex]4x^2 - 16x + 8b^2 = 0[/tex]

[tex]x^2 - 4bx + 2b^2 = 0[/tex]

Le discriminant du polynôme est égal à $16b^2 - 8b^2 = 8b^2 = \left( 2 \sqrt {2} \right)^2$

D'où $x_1 = 2b - \sqrt {2}b = b \left(2 - \sqrt{2} \right)$   et   $x_2 = 2b + \sqrt {2}b = b \left(2 + \sqrt{2} \right)$

Comme $x$ représente la grande base, la valeur à prendre en compte est $b \left(2 + \sqrt{2} \right)$, soit $x \approx b \times 3,414$

Borassus
05-10-2024 18:46:46
Bernard-maths a écrit :

Bonjour à tous !

PS : voilà un bon exercice pour Borassus, quand il arrivera au second degré (;-)

Bonjour Bernard, bonjour tout le monde,

J'ai ri de bon cœur en me voyant évoqué ainsi. Je vais donc essayer de me hisser jusqu'au second degré. :-)

Comme vous avez sans doute remarqué que j'aime rédiger avec soin les résolutions d'exercices, je vous propose la résolution borassussienne suivante, telle que je l'écrirais pour une ou un de mes élèves :

La hauteur $h_j$ du triangle jaune est déterminée en écrivant que $\dfrac {h_j \times 7} {2} = 14$, d'où $h_j = \dfrac {14 \times 2}{7} = 4$.
(L'aire d'un triangle est égale à la moitié de l'aire du rectangle ayant pour dimensions la longueur d'un des trois côtés du triangle et celle de la hauteur issue du sommet opposé à ce côté.)

De la même façon, la relation entre la hauteur $h_b$ du triangle bleu et la base $x$ est déterminée en écrivant que $\dfrac {x \times h_b}{2} = 28$, d'où $h_b = \dfrac {56}{x}$.

L'aide du trapèze est égale à la somme des aires des quatre triangles, ce qui s'écrit
$\dfrac {x + 7}{2} \times (h_j + h_b) = 14 + 35 + 28 + 21 = 98$ 
(L'aire d'un trapèze est égale à l'aire du rectangle ayant pour dimensions la moyenne des longueurs des deux bases et la distance entre les deux bases.)

soit $\dfrac {x + 7}{2} \times \left( 4 + \dfrac {56}{x} \right) = 98$ ,
ce qui produit successivement les équations suivantes :

$(x + 7)\,(4x + 56) = 196x$

$4x^2 + 56x + 28x + 392 = 196x$

$4x^2 - 112x + 392 = 0$

$x^2 - 28x + 98 = 0$

Le discriminant $\Delta$ du polynôme est égal à $(-28)^2 - 4 \times 1 \times 98 = 392 = (14 \sqrt {2})^2$.

D'où les deux solutions de l'équation finale centrées sur $- \dfrac {-28}{2 \times 1} = 14$ :
$x_1 = 14 - \dfrac {1}{2} \times 14 \sqrt {2} = 14 - 7 \sqrt {2}$   et   $x_2 = 14 + \dfrac {1}{2} \times 14 \sqrt {2} = 14 + 7 \sqrt {2}$
soit   $x_1 = 7\left(2 - \sqrt {2} \right) \, \approx \, 4,1$   et    $x_2 = 7 \left(2 + \sqrt {2} \right) \, \approx 23,9$.

Comme sur la figure la longueur $x$ correspond à celle de la grande base du trapèze, la valeur devant être retenue est celle de $x_2$.

Bonne soirée, et bon dimanche.
Bien cordialement, et bien amicalement,
B.

Bernard-maths
05-10-2024 17:00:47

Bonjour à tous !

VOUS n'avez pas fini SANS tracer les images solutions !!!

Voici pour la racines x1 = 7(2+rac(2)) = 23,9 environ ...

aszl.jpg

Comme il y a une infinité de tracés possibles, je me suis basé sur un triangle ABC isocèle ...

Je donnerai les tracés à suivre plus tard ... (;-)

B-m

Bernard-maths
03-10-2024 10:54:53

Bonjour à tous !

y'a un os quelque part, chez moi, ou chez vous !???

Le triangle jaune a pour base 7, pour aire 14, et donc pour hauteur 4 !
Le triangle bleu a pour base x, pour aire 28, et donc si h est sa hauteur, on a h x = 56 !

Le trapèze a pour bases 7 et x, et pour hauteur 4+h ... pour aire 21+14+35+28 = 98 !
D'où l'équation : (4+h)(7+x) = 2 fois 98 = 196 ...

28 + 4x + 7h + hx = 196
28 + 4x + 7*56/x + 56 = 196
28x + 4x² +7*56 + 56x = 196x
4x² + 84x +392 = 196x
4x² -112x + 392 = 0
x² - 28x + 98 = 0

Mince ! C'est vous qui avez raison ! Je vais me coucher ... je faisais sauter le 7 du 7h ...

Bon, eh bien maintenant il reste à faire les figures des différents cas !

VOUS n'avez pas fini ...

B-m

PS : voilà un bon exercice pour Borassus, quand il arrivera au second degré (;-)

yoshi
02-10-2024 19:02:52

RE,

B_m a écrit :

]je trouve ensuite environ 27,6 et 0,4 ???

Ni l'un ni l'autre : 23.899 et 4,101 - arrondis à $10^{-3}$ près -

@+

Bernard-maths
02-10-2024 18:47:02

Bonsoir !

J'ai fait une erreur de calcul ... (bizarre, non ?), mais je trouve ensuite environ 27,6 et 0,4 ???

Dur, dur en ce moment ...

B-m

yoshi
02-10-2024 18:41:32

RE,

J'ai trouvé...

...moi aussi 2 réponses : $x_1,x2=7(2\pm \sqrt 2)$
à partir de l'équation simplifiée :$x^2-28x+98 = 0$
La seule solution collant au dessin fourni est donc $7(2+\sqrt 2)$

@+

Rescassol
02-10-2024 18:15:52

Bonjour,

Je trouve

également $x=7(2\pm\sqrt{2})$.

Cordialement,
Rescassol

Bernard-maths
02-10-2024 16:43:18

Bonjour à tous !

Je ne connais pas vos calculs ... mais j'ai trouvé autre chose, entre 30 et 40 ...

Alors, qui a raison ?

Cordialement, B-m

Turbo-Eytan
02-10-2024 09:54:48

bonjour,

En plus de la solution trouvé par Roro, je trouve aussi :

Texte caché

[tex]7(2-\sqrt{2})[/tex]

Mais, il est certes vrai que la forme du trapèze obtenu ne correspond pas bien à la forme de l’énoncé (7 serait la grandeur de la grande base et non de la petite base).

Roro
01-10-2024 18:46:55

Bonjour,

Je propose :

Texte caché

$7(2+\sqrt{2})$

Roro.

Bernard-maths
01-10-2024 17:58:14

Bonjour à tous !

Voici un petit problème ... envoyé par un pote.

https://www.cjoint.com/doc/24_10/NJbp2Q … -10-01.jpg

Il faut trouver x !

B-m

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