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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Wiwaxia
- 04-10-2024 21:26:56
Bonsoir,
.../...
Puis cette formule dans tout triangle où a , b & c sont les angles "moitié" :
[tex]\sin^2{a}+\sin^2{b}+\sin^2{c}+2\times\sin{a}\times\sin{b}\times\sin{c} = 1[/tex]
...
C'est épatant ! Je ne connaissais pas - ou avais complètement oublié - cette relation ...
Merci pour l'info.
- jpp
- 04-10-2024 09:27:38
Salut ;
Je pose : [tex]a = \frac{A}{2} ; b = \frac{B}{2} ; c = \frac{C}{2}[/tex] les trois angles "moitié" du triangle ABC .
On a immédiatement : [tex]\sin{a} = \cfrac{3r}{2} ; \sin{b} = \cfrac{4r}{3} ; \sin{c} = \cfrac{5r}{4} [/tex] (1)
Puis cette formule dans tout triangle où a , b & c sont les angles "moitié" :
[tex]\sin^2{a}+\sin^2{b}+\sin^2{c}+2\times\sin{a}\times\sin{b}\times\sin{c} = 1[/tex]
Il reste à remplacer les lignes trigonométriques par leurs valeurs respectives en (1)
[tex]\cfrac{805r^2}{144} + 5. r^3 - 1 = 0[/tex] . Une racine est positive : r = 0.36698...
- Wiwaxia
- 03-10-2024 20:36:39
Bonsoir,
Je suis surpris pas l'apparition d'un polynôme. Après quelques errements, j'en étais venu très simplement à l'équation symétrique:
Arcsin(r/OA) + Arcsin(r/OB) + Arcsin(r/OC) = π/2 .
- Ernst
- 03-10-2024 20:23:02
Bonsoir,
Perso j'ai fait ça par tâtonnement, en déplaçant avec Python les sommets du triangle pour que les contraintes soient respectées, ça marche également.
Au début j'ai tâtonné pour modéliser correctement le truc, finalement j'ai choisi (0,0) pour le centre O, fixé le sommet A en (0, 2/3) et déplacé sur des cercles de rayon 3/4 et 4/5 les sommets B et C, cadran inférieur gauche pour B (x<0 et y<0) et cadran inférieur droit pour C (x>0 et y<0) pour gagner du temps.
Calcul du centre du cercle inscrit I, calcul de l'écart avec O, et recherche de coïncidence en déplaçant alternativement B et C sur leur quart de cercle avec des incréments de plus en plus petits. En quelques secondes on obtient la précision que l'on souhaite :
$$0.36698314034495553845820247929544555690484677803919...$$
- Rescassol
- 03-10-2024 18:15:20
Bonjour,
$720\space r^3 + 805\space r^2 - 144 = 0$ ou encore $5\space r^3 + \dfrac{805}{144}\space r^2 - 1 = 0$
Cordialement,
Rescassol
- jpp
- 03-10-2024 17:06:15
Salut à tous .
Il faut trouver une équation en r de degré 3 ,
[tex]a.r^3 + b.r^2 - 1 = 0[/tex]. Où a et b sont rationnels , pour trouver [tex]r\approx0.36698...[/tex]
- Wiwaxia
- 03-10-2024 14:41:08
Bonjour,
J'ai trouvé pour (r) la racine d'une équation non-algébrique:
r = 0.366 983 140 344 960 ± 35E-15 .
La calculatrice ne me permet pas d'aller plus loin. L'énigme est intéressante tant par la concision de l'énoncé que celle de la solution.
- renéb
- 01-10-2024 15:31:04
Bonjour,
Je tente une réponse:
r=22.00849...
A bientôt.
Rb
PS: je voulais dire 22,00849 / 60 = 0,36680
60 étant le ppcm des trois dénominateurs.
- Rescassol
- 01-10-2024 14:34:01
Bonjour,
$r\simeq 0.366983140344956$
Cordialement,
Rescassol
- jpp
- 01-10-2024 10:07:22
Salut .
Le cercle inscrit (O,r) d'un triangle ABC est tel que : OA = 2/3 ; OB = 3/4 & OC = 4/5 .
Trouver r .
n.b le dessin peut disparaitre après un certain temps ; c'est pour cela que j'ai ajouté le texte .
