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Rescassol · 27-08-2024 20:09:26

Bonsoir,

Yoshi a écrit :

je vais donc reprendre ce que tu as déjà publié là-dessus et essayer de comprendre comment tu t'en sers...

Bon courage, Yoshi, et pose moi toutes les questions que tu voudras.

Cordialement,
Rescassol

yoshi · 27-08-2024 19:09:13

RE,

Je pense que je vais abandonner ma méthode bourrin : juste à voir la gueule des coordonnées de tes points D et E, du coefficient directeur de la médiatrice de [DE] dans le repère que j'ai choisi, j'augure mal de la suite...

@Rescassol
Bon, je me dois de reconnaître que j'ignorais ce qu'étaient des coordonnées Barycentriques, à part le fait que ça l'air de te faciliter les calculs...
D'un seul coup, je me suis dit qu'il fallait que je sache...
La page de Bibmath qui leur est consacrée m'a éclairé sur ce point, mais je ne suis guère plus avancé : du diable, si je vois comment s'en servir (à part "jouer avec des Barycentres), mais surtout comment : je vais donc reprendre ce que tu as déjà publié là-dessus et essayer de comprendre comment tu t'en sers...
Et là, je vais avoir de quoi m'employer ! ^_^

@+

Rescassol · 25-08-2024 22:54:34

Bonsoir,

Je trouve $\cos(\widehat{ABD})=\dfrac{\sqrt{109}+30}{113\sqrt{2}}$.

Cordialement,
Rescassol

yoshi · 25-08-2024 19:45:16

Re,

C'est fait : (grand sourire) 75,34°.
Un bon point pour mon œil et le soft de Fred !
Merci Rescassol...

Merci pour tes propositions que je décline respectueusement : ce serait trop de boulot pour mon petit cerveau...
Tant pis, je vais mettre en application mon plan bourrin (je n'aurais probablement pas dû le proposer) pas sûr d'ailleurs que j'arrive à extraire $\alpha$.

@+

Rescassol · 25-08-2024 18:39:18

Bonjour,

Le code Matlab est très commenté et traduisible presque mot à mot en Python.
Tu peux me demander des explications sur n'importe quelle instruction.
J'utilise quelque fonctions auxilliaires de mon cru, dont je peux fournir le code à la demande.
Une valeur approchée de l'angle $\widehat{ABD}$ est $75.3414250983674°$.
Je n'ai pas calculé la valeur exacte.

Cordialement,
Rescassol

yoshi · 25-08-2024 18:28:56

RE,

ET calculs faits classiquement à la main ça se présenterait comment ?
Parce que là, c'est impressionnant, mais je suis obligé de reconnaître que je ne comprends rien au déroulement logique du script, faute de connaître MatLab...

Je vais refaire mon dessin (que je n'ai pas gardé !) avec le GeoLabo de Fred, et demander au soft de m'estimer l'angle $\alpha$ ainsi je verrai si mon dessin était loin de la vérité...

@+

Rescassol · 25-08-2024 17:51:24

Bonjour,

J'ai bien entendu fait les calculs, en coordonnées barycentriques, avec Matlab.
J'ai pris le triangle $ABC$ comme triangle de base, $D=[u; v; w]$ quelconque, $E$ son image par un quart de tour (rotation d'angle $\dfrac{\pi}{2}$) de centre $B$ et écrit deux contraintes, $BD=1$ et $A,C,D,E$ cocycliques. Ensuite, il n'y avait plus qu'à résoudre. Voilà mon code et ma figure.
Si nécessaire, je peux fournir le fichier Géogébra.

% Achimar - 22 Août 2024 - Énigme Pythagore

clc, clear all

A=[1; 0; 0]; B=[0; 1; 0]; C=[0; 0; 1]; % Sommets du triangle ABC

syms r real % r=sqrt(2)

a=4; b=2*r; c=2*r; S=4; % Longueurs des côtés et aire de ABC

syms u v w real

D=[u; v; w]; % Un point D quelconque

E=QuartDeTourBary(B,D,a,b,c,S);

E=[-u-2*w; -u-v; u+w]; % E est l'image de D par le quart de tour de centre B

[O R2]=CercleTroisPointsBary(A,C,D,a,b,c); % Cercle circonscrit à ACD

O=SimplifieBary(O); % Son centre

O=SimplifieBary(subs(O,[r^4 r^2],[4 2])); % On trouve:

O=[u*v+u*w+2*v*w; v^2-w*v-u*w; v*(u+v+w)];

R2=Factor(R2); % le carré de son rayon

R2=Factor(subs(R2,r^2,2));% On trouve:

R2=2*(v^2+w^2)*(u^2+2*u*v+2*v^2)/(v^2*(u+v+w)^2);

NulD=numden(Factor(Distance2(B,D,a,b,c)-1)); % la distance BD est égale à 1

NulE=numden(Factor(Distance2(O,E,a,b,c)-R2)/8); % E est sur le cercle ACD

NulD=Factor(subs(NulD,r^2,2)); % On simplifie, car r^2=2

% NulD=7*u^2 - 2*u*v + 14*u*w - v^2 - 2*v*w + 15*w^2

NulE=Factor(subs(NulE,r^2,2)/2);

% NulE=3*u^2*v + u^2*w + 2*u*v^2 + 6*u*v*w + 2*v^2*w + 2*v*w^2

% On élimine w entre NulD et NulE

Nulw=Factor(resultant(NulD,NulE,w)); % 105*u^2 - 16*u*v - 16*v^2 = 0

% Delta=8^2+105*16=1744=16*109 et u/v=(8+4*t)/105 ou ... avec t=sqrt(109)

% On élimine u entre NulD et NulE

Nulu=Factor(resultant(NulD,NulE,u)); % 31*v^2 - 2*v*w - 225*w^2 = 0

% Delta=1^2+31*225=64*109 et w/v=-(1+8*t)/225 ou ...

syms t real % t=sqrt(109)

f(u,v,w)=R2; % Calcul de R2

[Num Den]=numden(Factor(f((8+4*t)/105,1,-(1+8*t)/225)));

Num=Factor(subs(expand(Num),[t^4 t^3 t^2],[109^2 109*t 109]));

Den=Factor(subs(expand(Den),t^2,109));

g(t)=Den;

Num=subs(expand(Num*g(-t)),t^2,109); % Expression conjuguée

Den=subs(expand(Den*g(-t)),t^2,109);

h(t)=Num/Den % On trouve (64*t+2033)/450

VaR2=vpa(h(sqrt(109))) % Valeur approchée de R2=(64*sqrt(109)+2033)/450

% On trouve R2=6.0026213701561671366766583498735

% et donc R=2.4500247692944182021838931604892

Cordialement,
Rescassol

Bernard-maths · 25-08-2024 15:43:57

Bonjour à tous !

Finalement je me suis laissé entrainé par GeoGebra, et géométriquement, je trouve $α$ = 75,3° et r $≈$ 2.45 ...

DONC : pas d'accord avec Saikidoka, plutôt d'accord avec Rescassol ... ?

Faudrait faire les calculs !

B-m

Bernard-maths · 25-08-2024 09:49:11

Bonjour à tous !

Je pense comme Yoshi ! Chercher l'angle $α$ :

On trace un cercle ACJ, et on cherche quand L est sur le cercle, on a $α$ ...

Le reste est simple !

DONC je vous laisse faire ...

B-m

Rescassol · 24-08-2024 21:31:15

Bonsoir,

Pour le rayon du cercle, je trouve $R=\sqrt{\dfrac{64\sqrt{109}+2033}{450}}$.

Cordialement,
Rescassol

Saikidoka · 24-08-2024 10:17:20

J'ai aussi "bestialement" calculé l'angle [tex]\widehat{CBJ}[/tex] et trouvé qu'il vaut [tex]\tan^{-1}\left(\frac{7+\sqrt{109}}{10}\right)[/tex]. Si quelqu'un a mieux je suis aussi preneur

yoshi · 23-08-2024 19:24:27

RE,

Bon, après mal de galère, j'ai "quasiment" réussi à reproduire la figure...

J'en conclus que ça ne devrait être faisable que pour un certain angle $\widehat{ABJ}$...
Dans ce cas, sans cet angle, pour l'instant, sauf à lui donner une valeur inconnue $\alpha$, ça va être "pénible" ^_^
Donc, si cet angle ne figure pas réellement pas dans les données, voilà mon plan :
- Je choisis un repère par exemple de centre M et d'axes (MC) et (MA)
- Je calcule ensuite les coordonnées des pointes I et J en fonction de $\alpha$
- Puis les équations des médiatrices de [AC] et [IJ]
J'en déduis
- les coordonnées de O en fonction de $\alpha$
- les longueurs OA, OJ
Et je résous OA = OJ qui devrait me donner cet $\alpha$, que je réinjecte dans l'écriture littérale du rayon...

Je n'ai pas essayé, bien sûr.

Je trouve quand même ça très "bestialement calculatoire" et je me dis qu'il doit y avoir plus simple (je me connais !...).

J'espère que quelqu'un va trouver quelque chose de simple et m'éviter de mettre en pratique mon pensum...

@+

yoshi · 22-08-2024 20:31:24

B'soir,

Moi aussi, plus ou moins...
J'ai exploré une piste qui me semblait être prometteuse, mais c'est raté...

▼C'était une affaire de....

Mais visiblement, je n'ai pas assez réfléchi.
Je reprends demain.

@+

Bernard-maths · 22-08-2024 19:31:42

Bonsoir à tous !

pour le moment je cale !

B-m

jelobreuil · 22-08-2024 19:06:15

Bonjour Achimar,
Je pense qu'on devrait s'en sortir en se rappelant certaines petites choses de géométrie ...
En tout cas, c'est assez intéressant !
Bien cordialement, JLB

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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