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J 'utiliserai la récurrence forte sur le modulo N, on verra dans la suite que c'est important vis à vis du  "noyau dur" de la preuve.
a est donné, je note la suite $u$  telle que $u_k = a \uparrow \uparrow k$

Cas N=1:  1 divisant tout entier, la stationnarité est manifeste dès le départ de la suite

Soit N au moins égal à 2, supposons la propriété vrai jusqu'au rang N-1. On doit montrer sa véracité au rang N.
Notations:
$N = \prod_{p \;\;premier} p^{\alpha} $ (je zappe les indices pour simplifier) .

L'utilisation du théorème chinois donnera ipso facto le résultat si on prouve la propriété sur chaque facteur $ p^{\alpha}$ de N puisque en prenant le max M des rangs à partir desquels la suite u est stationnaire modulo ces facteurs, la suite sera évidemment stationnaire avec les restes chinois à partir de M modulo le produit N des $ p^{\alpha}$

Donc soit p premier un diviseur de N, et $v_p(N) = \alpha$ sa valuation sur p.
Deux cas:
1- 
  p divise a. Si $ \alpha = 1 $ c'est immédiat, sinon un calcul facile montre, puisque la stationnarité est vraie au rang $p^{\alpha - 1}$ selon l'hypothèse de récurrence, en utilisant que pour tout entier non nul $\beta$ on a l'inégalité $ \beta \le p^{\beta} - 1$ , qui induit la propriété de stationnarité (à 0) au rang $p^{\alpha}$ simplement.

2- p et a sont premiers entre eux. (c'est la situation qui m'a laissé pantois un moment...)
Mais alors a et $p^{\alpha}$ sont étrangers. Appliquons alors l'hypothèse de récurrence au rang $\phi( p^{\alpha} )$ (indicatrice d'Euler, "méthode indicatrice", j'ai pensé que ça pouvait donner trop d'indices, j'ai alors modifié en "méthode indicative" puis en rien du tout au final d'où les croix).
Ce rang étant strictement inférieur à N:
$ \exists b : c \ge b => a \uparrow \uparrow c \equiv a  \uparrow \uparrow (c-1) \mod \phi( p^{\alpha} )$.
A partir de $b$ les congruences sont fixes modulo $\phi(p^{\alpha})$

Alors si $c \ge b$ $a^{a \uparrow \uparrow c} =  a \uparrow \uparrow ( c+1) = (a \uparrow \uparrow c) a^{\lambda  \phi( p^{\alpha} )} $

Il est clair que l'on retombe sur nos pieds avec le théorème d'Euler $(a^{\phi( p^{\alpha})})^{\lambda} \equiv 1^{\lambda} \equiv 1 \mod p^{\alpha} $ , ce qui donne la propriété de stationnarité au rang espéré $p^{\alpha} $ à partir de $b+1$.