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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- bridgslam
- 09-08-2024 13:49:06
Bonjour ,
Oui, il doit y avoir un homéorphisme j'imagine dans chaque cas avec l'objet ( cercle ou sphère) pour mèriter ce nom.
Merci
A.
- Eust_4che
- 09-08-2024 11:36:15
Bonjour tout le monde,
La topologie apparait quand on considère une topologie sur l'espace quotient. La topologie considérée par Michel est la topologie dite "quotient", ie la topologie la plus fine rendant continue la surjection canonique et celle pour laquelle toute application continue et compatible avec la relation d'équivalence se factorise en une application continue définie dans l'espace quotient.
La topologie quotient sur ton espace quotient $\mathbf{R}/R$ est la topologie ayant pour seule ouvert $\{ \emptyset, \mathbf{R}/R, \{ \mathbf{R} - \{ 0 \} \}$. Le seul ouvert contenant l'ensemble $\{ 0 \}$ (vu comme un point) est $\mathbf{R}/R$.
E.
- bridgslam
- 09-08-2024 11:03:52
bonjour,
De mon côté, ce que je ne comprends pas, c'est le terme "topologique". Y-a-t-il une notion de continuité derrière, par exemple?
Si je prends la droite réelle, je mets dans la même classe les réels non nuls, j'obtiens une partition en deux classes avec {0} et le reste.
Ces notions relèvent-elles purement de la topologie, ou bien topologie + ...?
Merci
Alain
- Michel Coste
- 08-08-2024 23:26:21
Il suffit d'appliquer ce que j'ai écrit : la relation d'équivalence sur $[-1,1]$ a une classe qui est $\{-1, 1\}$ et les autres classes sont les singletons $\{t\}$ pour $-1<t<1$.
Tu sais qu'une relation d'équivalence est entièrement déterminée par la partition en classes d'équivalence ?
- JuanPedro
- 08-08-2024 21:55:16
C’est bien ça le soucis car j’ai lu votre message comme tous les autres d’ailleurs !
Enfaite je ne comprends pas ce que vous définissez comme relation d’équivalence dans le cas du cercle topologique
Visuellement je comprends la logique mais formellement comment on écrit qu’on met en relation -1 et 1 ?
- bridgslam
- 08-08-2024 19:41:06
Bonsoir,
Une image si je ne suis pas à côté de la plaque:
En souflflant dans le disque tant que faire se peut, on en fait au final une sphère dont le bord initial devient un point qui vient fermer le truc ?
A.
- Michel Coste
- 08-08-2024 16:39:34
Je l'ai déjà écrit : voir message #18.
Il faut lire ce qu'on t'écrit.
- JuanPedro
- 08-08-2024 15:01:24
Et donc dans ce cas la relation d'équivalence dit quoi ?
- Michel Coste
- 08-08-2024 14:54:20
Le lien entre les notations est que la barre de fraction indique dans les deux cas un quotient et qui dit quotient dit relation d'équivalence.
- JuanPedro
- 08-08-2024 14:32:19
mais donc dans ce cas on est d'accord qu'il n'y a pas de liens entre la notation $D^2/S^1$ et la notation E/R des relation d'équivalence ou si ?
- Michel Coste
- 08-08-2024 14:01:12
Pas tout à fait n'importe quoi.
Notons $D^2$ le disque unité et $S^1$ le cercle unité, son bord.
Alors $D^2/S^1$ est effectivement une sphère topologique.
- JuanPedro
- 08-08-2024 13:30:53
je viens de relire mon message et j'ai écris n'importe quoi mais bon pas grave
- JuanPedro
- 08-08-2024 13:29:46
Mon cerveau commence à fondre je m'attendais pas à finir par parler de topologie mdrr
mais donc dans l'exemple du cercle [0,1]/{0,1} on ne définie rien d'autre alors quel est la relation d'équivalence associé a {0,1} ?
est ce que ça a encore un sens d'essayer de relier ce quotient a une relation ou c'est juste autre chose ?
pour m'assurer que j'ai compris :
est ce que [0,1]x[0,1]/{x,y | x^2+y^2 = 1} nous donne une sphère ?
- bridgslam
- 08-08-2024 12:21:35
Sinon, pour rester dans un registre "Faîtes entrer l'accusé" ou Commissaire Maigret tuer la quantité numérique sur le monoïde des entiers relatifs non nuls donne le groupe à deux éléments, on change de structure algébrique.
Tuer le signe ( relation $x/y \in {-1,1} $ ) est plus intéressant (mais douteux la division n'étant pas définie, il vaut mieux l'écrire autrement), c'est l'association sur un anneau.
Bref tout un panorama criminogène que je m'empresse de quitter au plus vite.
Alain
- Michel Coste
- 08-08-2024 11:44:17
Il y a aussi une habitude, notamment en topologie, d'écrire des quotients $X/A$ où $A$ est une partie de $X$. Cette notation veut dire qu'on quotiente par la relation d'équivalence dont une des classes est $A$ et les autres classes sont les singletons non contenus dans $A$. Par exemple $[-1,1]/\{-1,1\}$ est l'intervalle dont on a recollé les deux extrémités en un seul point ; du point de vue topologique, c'est un cercle.