Forum de mathématiques - Bibm@th.net

On peut procéder bien-sûr par récurrence sur N, même si cela semble douteux a priori.
Le cas N = 1 est immédiat, on peut aussi regarder le cas N=2 ça ne mange pas de pain.

En supposant la propriété vraie jusqu'à un rang N (pour des réels quelconques vérifiant les contraintes) , on verra facilement qu'elle se propage au rang N+1,
et on aura alors  intérêt à numéroter les valeurs par ordre croissant des valeurs, puis on utilisera alors une expression (x-1)(1-y) pour conclure au rang N+1.

Le cas N = 1 est immédiat, on peut aussi regarder le cas N=2 ça ne mange pas de pain.

En supposant la propriété vraie jusqu'à un rang N (pour des réels quelconques vérifiant les contraintes).
si on se donne N+1 réels vérifiant les conditions, avec $0 \lt x_1 \le x_2 .... \le x_{N+1}$ , on regroupe ensemble les valeurs extrêmes $x_1x_{N+1}$
On a alors une somme de N  termes, qui est donc minoré par N avec l'hypothèse de récurrence au rang N.
Un peu d'algèbre qui fait jouer cette somme, et celle qui nous intéresse,  et où apparaît $(x_{N+1} - 1)(1- x_1)$ de signe connu fournit l'inégalité attendue au rang N+1.

Si on note b' et a' les quotients respectifs de b et a par leur pgcd,
Alors a'b = ab', on en déduit donc que a divise a'b, puis avec l'hypothèse que a divise a'.
Donc a=a', et donc le pgcd de a,b est 1.

avec les multiplicateurs de Lagrange en minimisant la somme sous la contrainte du produit ça marche bien !