Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Tu verras les séries entières en spé, pas d'inquiétude !
En fait l'exercice consiste à trouver les $x\in\mathbb{R}$ tels que la série converge. Ici d'Alembert n'est pas utilisable car la suite du quotient des $\cos$ n'aura pas de limite. A ton niveau, comme tu ne connais pas les séries entières tu ne dois pas connaître la notion de rayon de convergence, donc l'étude de la convergence de la série sera un peu plus compliqué (mais pas impossible, surtout avec des questions préliminaires pour aider).
Tu as un résumé du cours ici. Si ça t'intéresse, lis-le, après à part si tu es en avance ou que tu as du temps à perdre ne passe pas non plus trop de temps là-dessus car tu le verras en spé.

Oui ça fonctionne ! (Attention à bien dire "la série des $u_n$ converge absolument, donc cette série converge", et pas "$u_n$ converge absolument donc $u_n$ converge").

Par contre petit conseil perso : d'Alembert c'est assez fort mais c'est plutôt du dernier recours que du premier réflexe, à utiliser quand on n'a plus d'idée.
Comme elle est simple et efficace, cette règle est parfois abusivement utilisée (i.e. regarder $\lim \frac{u_{n+1}}{u_n}$ sans avant étudier si ça a un sens), donc nombreux sont les pièges en exercices où d'Alembert n'est pas applicable ! Pour ne citer qu'un parmi tant d'autres :
Etude de la convergence de la série entière :
$$
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{ \cos(2\pi n /3)}x^n
$$
Notamment ici, d'Alembert c'est un peu un marteau-pilon pour écraser une mouche !
Une comparaison de série à terme positifs fait très bien l'affaire :
$$
n\sqrt{5}^{-n} = ne^{-n\ln(5)/2} = o \left( \frac{1}{n^2}\right)
$$

Bonjour,

Il va effectivement falloir utiliser la convergence absolue. Ce théorème est assez pratique car si la série converge en module (ce qui est beaucoup plus facile à étudier car c'est une série de termes positifs), alors elle converge dans $\mathbb{C}$ (on n'a presque pas besoin de travailler sur les complexes !)

Tu devrais essayer de calculer le module des $u_n = \frac{n}{(1+2i)^n}$ et essayer de le majorer pour avoir la convergence de ta série.