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Borassus, une formule plus générale pour l'obtention de triplets pythagoriciens est celle-ci :
avec deux entiers m et n tels que m < n, les nombres n^2 - m^2, 2mn et n^2 + m^2 en forment un ...

Bonjour,

Et alors ?
Oui, mais pas plus que ça. Je leur avais montré comment avec n impair >1, tout triangle de côtés $n,\,\frac {n^2-1}{2},\,\frac {n^2+1}{2}$ était un triangle rectangle... en vérifiant par calcul littéral que la réciproque du théorème de Pythagore s'appliquait bien.
je doute qu'ils s'en fussent souvenus

Mais non, je n'en avais pas "fait" un théorème : je l'avais montré à titre de "curiosité".
Sinon aurais-je dû accepter que, tombant un jour sur un triangle $\{4,2 ; 5,6 ;7\}$, ils ressortent :
Je sais que le triangle 3;4;5 est connu depuis la Haute Antiquité pour être un triangle rectangle.
Or, il se trouve que ce triangle 4,2 ; 5,6 ;7 est tel que 4,2 = 3 x 1,4 ; 5,6 = 4 x 1,4  et 7 = 5 x 1,4.
Ce triangle, dont les côtés sont multiples de 3-4-5, est donc bien un triangle rectangle...

Avec le risque, que plus, tard, sabotant plus ou moins leur justification, un grincheux ou un puriste extrême,  leur refuse la réponse.

Bin, oui, d'habitude si prompt à ne pas faire comme les autres, il m'arrivait d'être prudent, voire "rétrograde"...

La 1ere question de l'exercice de construction en avait dérangé beaucoup (je m'y attendais) : cette demande était bien trop inhabituelle pour eux.
Moi, dès sa découverte, je l'avais trouvé particulièrement révélateur et j'avais décidé qu'il ferait partie de ma panoplie d'exercices...

@+

Re,

@jelobreuil
Oui, ils savaient que
Tout triangle rectangle est inscriptible dans un cercle dont le diamètre est l'hypoténuse de ce triangle.
Après il fallait qu'ils se souviennent que
- Le centre du cercle est le milieu du diamètre et donc de l'hypoténuse (sans rire...)
- que le rayon joint le centre d'un cercle à un point de ce cercle (sans rire...)
- que tous les rayons ont la même longueur (toujours sans rire...)
Ou que la longueur de la médiane de l'hypoténuse est la moitié de celle de cette hypoténuse.(vu au moment du théorème précédent)

Ensuite, à la maison avec 10 jours/15 jours (selon les difficultés) pour leur DM, ils avaient le temps de chercher et la possibilité de regarder le lexique en fin de manuel ou le mien (24 pages) que je distribuais chaque année à tous les élèves que je voyais pour la 1ere fois.

Pour le coup, rédiger une description d'une construction correcte, justifiée pas à pas était au delà de 2 pas... Mais c'était un Devoir Maison !
Et puis, j'étais payé pour qu'ils réfléchissent autant que faire se pouvait : je n'ai pas de remords !

@+

Re,

Le fait est que ce qui ressemble à de la Géométrie ne commence vraiment qu'en 4e, il ne faut pas perdre de vue que ma génération en mangeait sérieusement dès la 6e et que tout le monde n'entrait pas en 6e...
Je suis contre les Groupes de niveau, j'ai vu ce que ça avait donné sur une classe entière de 3e : il ne faut pas les prendre pour des aveugles, ils avaient été tout à fait capables de comparer leur niveau avec les autres classes : << Pourquoi on travaillerait ? On sait bien qu'on est les cons du Collège ! >> (sic). De plus, de vrais groupes de niveau ne peuvent coexister 1 année entière dans la même salle, et 2 profs : Où va-t-on les trouver (les salles libres et les profs ?).
J'ai fait ça - une fois durant un trimestre - contraint et forcé, suite à une erreur de jugement de ma part sur le contenu et le timing d'une interro en 3e, où  sur 29 élèves j'avais 1 fois 19 et 1 fois 20, une petite partie (7 ou 8... c'est loi, hein...) entre 10 et 14, le reste entre 0 et 8...
J'avais bien dû assumer mon erreur, la reconnaître devant les intéressés et faire bosser les deux têtes (2 filles, au passage !) et avancer avec elles en même temps (comme dirait quelqu'un ;-D) que je redémarrais de 0 avec les autres... il avait fallu reprendre assez vite (sans trop) avec les uns et avancer le programme (pas trop vite et en ponctuant de quelques exercices d'approfondissement avec les 2 têtes) pour pouvoir raccrocher les wagons...
Bien sûr, tous étaient dans la même salle.
J'avais eu la chance de voir, dans le passé, fonctionner une classe unique allant de la Section enfantine au CM2 et aussi - durant une semaine de m'y coller : c'était de la haute voltige, l’œil rivé sur le chronomètre pour bien gérer les décrochages des changement de niveau...
Je ne crois pas que je me serais lancé en 3e sans cette petite expérience et je me serais retrouvé dans la mélasse.
Bah... c'est du passé n'en parlons plus (comme dit la chanson) !

Autre problème  face aux théorèmes, définitions propriétés et autre réciproques, devant un exercice beaucoup, ressemblent à "des poules trouvant un couteau".
Beaucoup ne sont jamais entendu expliquer à quoi servait tout ça...
J'en avais fini par leur donner à l'impromptu des interros de leçon hors norme...
Exemple :
Je donnais deux cercles (hypothèses /conclusion) l'un à côté de l'autre, centre marqué, un diamètre tracé et un point sur les cercles.
Plus, dessin de droite, j'ajoutais un angle droit....
Je demandais simplement qu'on me donne l'énoncé du théorème correspondant et je demandais qu'on mette une barre verticale dans le texte à l'endroit où se terminaient les hypothèses (ou encore les données) et où donc commençait la conclusion...
Je leur précisais le pourquoi du procédé : savoir sa leçon ce n'est pas la réciter comme un perroquet, les perroquets n'ayant rien à faire en classe.

Certains (pas tous, pas ceux capables d'écrire : la nature du quadrilatère ABCD est un triangle... sic), finissaient par comprendre ce que Borassus a dit plus haut : ouvrir les yeux, repérer les figures élémentaires des théorèmes, définitions etc vus en cours. Et que c'est par là que tout commence... Ce n'était pas aussi évident que cela peut en avoir l'air!
C'est pourquoi le dessin (pourtant fourni) n'est pas aisé à décrypter pour un 3e lambda : beaucoup de traits et de points, deux cercles sécants... Beaucoup ne remarquaient même pas que le titre de l'exercice constituait une piste...

Autres exercices en 4e (en DM) déstabilisants

1. Construire en vraie grandeur le triangle rectangle RTS ci-dessus, en justifiant chaque étape de la construction, sachant que H est le pied de la hauteur relative au côté [RS] et I le milieu de celui-ci,TU = 4 cm et TI = 5 cm.
2. Calculer ensuite UI, RU, RT et TS (pour les deux dernières, donner les résultats arrondis à à 0,1 cm près.)

Et :

Trois barres de meccano ont été assemblées de façon rigide et une quatrième est mobile  : les points noirs représentent les écrous de fixation.
Les 3 grandes barres comportent 14 trous, la petite barre en comporte 6. On va faire pivoter la grande barre mobile. Tous les trous sont régulièrement espacés.
1. Que pouvez-vous dire du montage des 3 barres fixes ?
2. En face de quel trou de la barre fixe  [HC] le dernier trou E de cette barre mobile [AE] va-t-il venir se fixer ? (Réponse attendue : un n°)

Beaucoup ne voyaient pas le pourquoi de la question 1, la plupart des autres n'y auraient pas pensé tout seuls. De plus il y avait une vacherie finale...

Ces exos venaient en DM après la leçon sur Pythagore...

@+

Moi, je regardais du bas vers le haut, en partant de E et de G d'une part, de F et de H d'autre part.

Toi, tu as d'emblée regardé du haut vers le bas en partant de A.

Très important, en géométrie surtout, la perspective du regard !!

Borassus, excuse-moi, mais je crois qu'il y a bien plus simple que ce que tu écris, pour démontrer que les angles EAG et FAH sont égaux, car on a la chaîne d'égalité d'angles EAG = EBG = FBH = FAH ...
Bien amicalement, JLB

Bonsoir Yoshi,
Ah oui ! Alors, si l'on en est venu à ce niveau élémentaire de questionnement, ne nous étonnons plus de rien !
Ce sont purement et simplement des questions de cours, non ?
Effectivement, si un élève de troisième n'a eu à répondre qu'à ce genre de questions, je comprends que devant ton problème d'angles inscrits, il ne puisse que faire les yeux ronds et rester sec !! ...
Mais comment a-t-on pu ériger en dogme intangible qu'il ne faut pas mettre les enfants en situation de devoir réfléchir ?? C'est aberrant, tout simplement !!
Bien amicalement, JLB