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yoshi
10-04-2024 22:12:45

Re,

A propos, étais-tu auteur d'une partie des exercices que tu soumettais ?

C'est arrivé plusieurs fois, particulièrement avec la géométrie qu'on appelait analytique, en géométrie pure, avec les problèmes de mises en équation ou les problèmes sur les fractions à résoudre (sans équation).

Mais pour les deux derniers, non, je les ai trouvés dans un des multiples manuels que j'avais accumulés lors des changements de programme.
Le meccano m'avait bien plu : rentrés chez eux, s'ils avaient été, étant très jeunes fans du meccano (comme moi), ils pouvaient vérifier ou un peu bricoleurs ils pouvaient reproduire les pièces ou, il me semble me souvenir que j'avais tracé les pièces à l'échelle et que via découpes de l'interro,  la réponse était trouvable...
Le problème du triangle rectangle, déjà programmeur amateur, m'avait séduit, parce qu'il fallait faire les choses dans un certain ordre, tout en s'assurant que chaque étape envisagée était justifiable en l'état des connaissances accumulées jusqu'à l'étape en question... C'était, de mon point de vue, une forme de démonstration qui ne disait pas son nom, qui les obligeait à  mobiliser leurs connaissances et en faire le tri.
L'exercice en soi n'était pas difficile mais déstabilisant : pas autoriser d'utiliser une équerre pour les angles droits, tracer une parallèle : je voulais qu'ils me disent comment et pourquoi...
Alors, oui, c'était pénible et les consignes orales volontairement telles...

Rien à voir avec la Géométrie (il va falloir que je fouille un peu mieux mes archives) Voici 1 problème de fractions production personnelle dans un DM (là encore, ça ne le faisait pas rire : pourtant je leur "mâchais" un peu la besogne)...

Les ouvriers
Une première équipe d’ouvriers effectue les 3/8  d’un travail en 4 jours et s’arrête.
Une deuxième équipe d’ouvriers prend alors le relais et effectue en 6 jours les 3/5 de ce qui reste à faire, puis s’arrête à son tour.
Quelle fraction du travail total a-t-elle été faite et que reste-t-il à faire ?
C’est alors que le commanditaire du travail décide d’accélérer les choses et fait travailler ensemble les 2 équipes pour finir le travail.
Quelle quantité du travail total initial les 2 équipes travaillant ensemble font-elles par jour ?
Combien de temps les 2 équipes mettront-elles donc pour achever ce travail ?
Si la journée de travail dure 8 heures, combien les ouvriers travailleront-ils le dernier jour ?
(Réponse en j h min).

Ce problème risque d’être un "travail de romain" pour beaucoup... Mais ne dit-on pas  :  « A cœur vaillant rien d’impossible.  » ?

@+

jelobreuil
10-04-2024 19:46:11

Borassus, une formule plus générale pour l'obtention de triplets pythagoriciens est celle-ci :
avec deux entiers m et n tels que m < n, les nombres n^2 - m^2, 2mn et n^2 + m^2 en forment un ...

Borassus
10-04-2024 18:26:31

Bonjour yoshi, bonjour à tous,

Je leur avais montré comment avec n impair >1, tout triangle de côtés $n,\,\frac {n^2-1}{2},\,\frac {n^2+1}{2}$

Je n'ai jamais retenu les combinaisons fournissant des triplets pythagoriciens. Je retiens celle-ci, que je ressortirai à l'occasion. Merci !

Sinon aurais-je dû accepter que, tombant un jour sur un triangle $\{4,2 ; 5,6 ;7\}$, ils ressortent :
Je sais que le triangle 3;4;5 est connu depuis la Haute Antiquité pour être un triangle rectangle.
Or, il se trouve que ce triangle 4,2 ; 5,6 ;7 est tel que 4,2 = 3 x 1,4 ; 5,6 = 4 x 1,4  et 7 = 5 x 1,4.
Ce triangle, dont les côtés sont multiples de 3-4-5, est donc bien un triangle rectangle...
Avec le risque, que plus, tard, sabotant plus ou moins leur justification, un grincheux ou un puriste extrême,  leur refuse la réponse.

J'indique que beaucoup d'exercices utilisant des triangles sont basés sur le triangle 3-4-5, mais qu'il faut faire le calcul pour soi, sans l'écrire formellement sur la copie. Tout au plus, l'écrire en guise de remarque après avoir effectué les calculs "académiques" attendus.
Je crains en effet le "grincheux ou le puriste extrême", qui contribue par son rigorisme mal placé à dégoûter des maths.

d'habitude si prompt à ne pas faire comme les autres

J'apprécie... :-)
Lorsque je dois être "rétrograde" — j'aime bien ce mot —, j'apprends à l'élève l'expression « faire l'âne pour avoir du son ».

La 1ere question de l'exercice de construction en avait dérangé beaucoup (je m'y attendais) : cette demande était bien trop inhabituelle pour eux.
Moi, dès sa découverte, je l'avais trouvé particulièrement révélateur et j'avais décidé qu'il ferait partie de ma panoplie d'exercices...

Cet exercice est en effet remarquable à bien des égards.
Notamment parce que l'élève peut aisément le reproduire, ou un semblable (si tant est qu'il ait un Meccano).
Mais, le plus souvent, l'orthogonalité est assurée par une équerre triangulaire, et non par une petite barre diagonale.

A propos, étais-tu auteur d'une partie des exercices que tu soumettais ?

yoshi
10-04-2024 11:38:02

Bonjour,

Pour le premier exo , est-ce que les élèves connaissaient le triangle 3-4-5, connu depuis la Haute Antiquité ?

Et alors ?
Oui, mais pas plus que ça. Je leur avais montré comment avec n impair >1, tout triangle de côtés $n,\,\frac {n^2-1}{2},\,\frac {n^2+1}{2}$ était un triangle rectangle... en vérifiant par calcul littéral que la réciproque du théorème de Pythagore s'appliquait bien.
je doute qu'ils s'en fussent souvenus

Mais non, je n'en avais pas "fait" un théorème : je l'avais montré à titre de "curiosité".
Sinon aurais-je dû accepter que, tombant un jour sur un triangle $\{4,2 ; 5,6 ;7\}$, ils ressortent :
Je sais que le triangle 3;4;5 est connu depuis la Haute Antiquité pour être un triangle rectangle.
Or, il se trouve que ce triangle 4,2 ; 5,6 ;7 est tel que 4,2 = 3 x 1,4 ; 5,6 = 4 x 1,4  et 7 = 5 x 1,4.
Ce triangle, dont les côtés sont multiples de 3-4-5, est donc bien un triangle rectangle...

Avec le risque, que plus, tard, sabotant plus ou moins leur justification, un grincheux ou un puriste extrême,  leur refuse la réponse.

Bin, oui, d'habitude si prompt à ne pas faire comme les autres, il m'arrivait d'être prudent, voire "rétrograde"...

La 1ere question de l'exercice de construction en avait dérangé beaucoup (je m'y attendais) : cette demande était bien trop inhabituelle pour eux.
Moi, dès sa découverte, je l'avais trouvé particulièrement révélateur et j'avais décidé qu'il ferait partie de ma panoplie d'exercices...

@+

Borassus
09-04-2024 23:10:43

Bonsoir,

Pour le premier exo, est-ce que les élèves connaissaient le triangle 3-4-5, connu depuis la Haute Antiquité ?
Je retiens cet exercice, ainsi que le suivant.

C'est dommage que les DM soient notés avec un si faible coefficient, sous prétexte que les élèves peuvent se faire aider !
On considère que seuls les élèves qui réussissent en contrôle sont bons en maths, alors que très souvent l'émotivité — sensiblement renforcée maintenant par la prédominance du contrôle continu, car les élèves, les filles en particulier, ont la sensation de jouer leur vie à chaque contrôle — est trop importante pour ne pas être prise en compte.

Pourtant, beaucoup plus que les contrôles, ce sont les les DM qui font véritablement réfléchir, apprendre, communiquer, élaborer son travail par versions successives.

J'ai maintes fois vu des élèves, filles comme garçons, apporter beaucoup de soins à leur devoir, aussi bien dans les enchaînements de raisonnement que dans la qualité du texte ou la réalisation des figures.

Et le plaisir d'avoir une (très) bonne note, avec une appréciation élogieuse du prof, surpasse le plaisir d'être bien noté à un contrôle car les élèves sont alors sensibles à la récompense apportée à leur effort et à leur implication.

yoshi
09-04-2024 22:07:20

Re,

@jelobreuil
Oui, ils savaient que
Tout triangle rectangle est inscriptible dans un cercle dont le diamètre est l'hypoténuse de ce triangle.
Après il fallait qu'ils se souviennent que
- Le centre du cercle est le milieu du diamètre et donc de l'hypoténuse (sans rire...)
- que le rayon joint le centre d'un cercle à un point de ce cercle (sans rire...)
- que tous les rayons ont la même longueur (toujours sans rire...)
Ou que la longueur de la médiane de l'hypoténuse est la moitié de celle de cette hypoténuse.(vu au moment du théorème précédent)

Ensuite, à la maison avec 10 jours/15 jours (selon les difficultés) pour leur DM, ils avaient le temps de chercher et la possibilité de regarder le lexique en fin de manuel ou le mien (24 pages) que je distribuais chaque année à tous les élèves que je voyais pour la 1ere fois.

Pour le coup, rédiger une description d'une construction correcte, justifiée pas à pas était au delà de 2 pas... Mais c'était un Devoir Maison !
Et puis, j'étais payé pour qu'ils réfléchissent autant que faire se pouvait : je n'ai pas de remords !

@+

jelobreuil
09-04-2024 21:43:02

Bonsoir Yoshi,
Dans ton premier exo, comment devaient-il calculer RU ? Connaissaient-ils l'égalité IR = IS = IT ?
Et pour le deuxième, il fallait qu'ils se souvinssent des exercices d'intervalles faits antérieurement, n'est-ce pas ? Et il leur fallait considérer les intervalles entre les centres des trous ! Tout ça devait être assez coton ...
Pour moi, c'est le trou n° 13 de la barre HC qui répond à la question (triplet pythagoricien 5-12-13, en comptant les susdits intervalles).
Bien amicalement, JLB

yoshi
09-04-2024 20:35:24

Re,

Le fait est que ce qui ressemble à de la Géométrie ne commence vraiment qu'en 4e, il ne faut pas perdre de vue que ma génération en mangeait sérieusement dès la 6e et que tout le monde n'entrait pas en 6e...
Je suis contre les Groupes de niveau, j'ai vu ce que ça avait donné sur une classe entière de 3e : il ne faut pas les prendre pour des aveugles, ils avaient été tout à fait capables de comparer leur niveau avec les autres classes : << Pourquoi on travaillerait ? On sait bien qu'on est les cons du Collège ! >> (sic). De plus, de vrais groupes de niveau ne peuvent coexister 1 année entière dans la même salle, et 2 profs : Où va-t-on les trouver (les salles libres et les profs ?).
J'ai fait ça - une fois durant un trimestre - contraint et forcé, suite à une erreur de jugement de ma part sur le contenu et le timing d'une interro en 3e, où  sur 29 élèves j'avais 1 fois 19 et 1 fois 20, une petite partie (7 ou 8... c'est loi, hein...) entre 10 et 14, le reste entre 0 et 8...
J'avais bien dû assumer mon erreur, la reconnaître devant les intéressés et faire bosser les deux têtes (2 filles, au passage !) et avancer avec elles en même temps (comme dirait quelqu'un ;-D) que je redémarrais de 0 avec les autres... il avait fallu reprendre assez vite (sans trop) avec les uns et avancer le programme (pas trop vite et en ponctuant de quelques exercices d'approfondissement avec les 2 têtes) pour pouvoir raccrocher les wagons...
Bien sûr, tous étaient dans la même salle.
J'avais eu la chance de voir, dans le passé, fonctionner une classe unique allant de la Section enfantine au CM2 et aussi - durant une semaine de m'y coller : c'était de la haute voltige, l’œil rivé sur le chronomètre pour bien gérer les décrochages des changement de niveau...
Je ne crois pas que je me serais lancé en 3e sans cette petite expérience et je me serais retrouvé dans la mélasse.
Bah... c'est du passé n'en parlons plus (comme dit la chanson) !

Autre problème  face aux théorèmes, définitions propriétés et autre réciproques, devant un exercice beaucoup, ressemblent à "des poules trouvant un couteau".
Beaucoup ne sont jamais entendu expliquer à quoi servait tout ça...
J'en avais fini par leur donner à l'impromptu des interros de leçon hors norme...
Exemple :
Je donnais deux cercles (hypothèses /conclusion) l'un à côté de l'autre, centre marqué, un diamètre tracé et un point sur les cercles.
Plus, dessin de droite, j'ajoutais un angle droit....
Je demandais simplement qu'on me donne l'énoncé du théorème correspondant et je demandais qu'on mette une barre verticale dans le texte à l'endroit où se terminaient les hypothèses (ou encore les données) et où donc commençait la conclusion...
Je leur précisais le pourquoi du procédé : savoir sa leçon ce n'est pas la réciter comme un perroquet, les perroquets n'ayant rien à faire en classe.

Certains (pas tous, pas ceux capables d'écrire : la nature du quadrilatère ABCD est un triangle... sic), finissaient par comprendre ce que Borassus a dit plus haut : ouvrir les yeux, repérer les figures élémentaires des théorèmes, définitions etc vus en cours. Et que c'est par là que tout commence... Ce n'était pas aussi évident que cela peut en avoir l'air!
C'est pourquoi le dessin (pourtant fourni) n'est pas aisé à décrypter pour un 3e lambda : beaucoup de traits et de points, deux cercles sécants... Beaucoup ne remarquaient même pas que le titre de l'exercice constituait une piste...

Autres exercices en 4e (en DM) déstabilisants
8wis.png
1. Construire en vraie grandeur le triangle rectangle RTS ci-dessus, en justifiant chaque étape de la construction, sachant que H est le pied de la hauteur relative au côté [RS] et I le milieu de celui-ci,TU = 4 cm et TI = 5 cm.
2. Calculer ensuite UI, RU, RT et TS (pour les deux dernières, donner les résultats arrondis à à 0,1 cm près.)

Et :
x3mw.png
Trois barres de meccano ont été assemblées de façon rigide et une quatrième est mobile  : les points noirs représentent les écrous de fixation.
Les 3 grandes barres comportent 14 trous, la petite barre en comporte 6. On va faire pivoter la grande barre mobile. Tous les trous sont régulièrement espacés.
1. Que pouvez-vous dire du montage des 3 barres fixes ?
2. En face de quel trou de la barre fixe  [HC] le dernier trou E de cette barre mobile [AE] va-t-il venir se fixer ? (Réponse attendue : un n°)

Beaucoup ne voyaient pas le pourquoi de la question 1, la plupart des autres n'y auraient pas pensé tout seuls. De plus il y avait une vacherie finale...

Ces exos venaient en DM après la leçon sur Pythagore...

@+

Borassus
09-04-2024 20:26:46

Preuve, s'il en est, qu'il faut prendre le temps de regarder avant de se lancer dans des calculs !
Cela permet d'économiser beaucoup de temps, et, pour les élèves en situation de contrôle ou de DST, d'économiser beaucoup de stress.

J'énonçais cela de façon générale, sans disposer d'un exemple concret.

Maintenant, j'en ai un d'autant plus compréhensible pour l'élève que j'ai moi-même patiné pendant un temps non négligeable — de l'ordre d'un quart d'heure, en m'énervant — précisément parce que je n'ai pas pris le temps d'observer avant de me lancer dans un raisonnement.

Merci grandement, jelobreuil !!
Tu m'as sensiblement fait professionnellement avancer !!

Borassus
09-04-2024 20:00:45

Moi, je regardais du bas vers le haut, en partant de E et de G d'une part, de F et de H d'autre part.

Toi, tu as d'emblée regardé du haut vers le bas en partant de A.

Très important, en géométrie surtout, la perspective du regard !!

Borassus
09-04-2024 19:48:02

Effectivement, je n'avais pas vu les arcs $\overset{\frown}{EG}$ et $\overset{\frown}{FH}$.
Je ne voyais que les deux arcs $\overset{\frown}{AB}$.

(Les yeux qui se croisent...)

Bravo !

Preuve, s'il en est, qu'il faut prendre le temps de regarder avant de se lancer dans des calculs !
Cela permet d'économiser beaucoup de temps, et, pour les élèves en situation de contrôle ou de DST, d'économiser beaucoup de stress.
J'utiliserai cet exercice comme illustration de ce que je m'efforce de transmettre.

jelobreuil
09-04-2024 19:34:09

Borassus, excuse-moi, mais je crois qu'il y a bien plus simple que ce que tu écris, pour démontrer que les angles EAG et FAH sont égaux, car on a la chaîne d'égalité d'angles EAG = EBG = FBH = FAH ...
Bien amicalement, JLB

Borassus
09-04-2024 19:10:16
yoshi a écrit :

Comment ne poser que la 2e question, alors qu'elle fait appel à la demi-droite [Ax définie dans la 1ere ?

La première pourrait être incluse dans l'énoncé : « Soit $[Ax)$ la bissectrice de l'angle $\widehat {GAF}$. » D'où directement la question.

jelobreuil
09-04-2024 19:04:23

Bonsoir Yoshi,
Ah oui ! Alors, si l'on en est venu à ce niveau élémentaire de questionnement, ne nous étonnons plus de rien !
Ce sont purement et simplement des questions de cours, non ?
Effectivement, si un élève de troisième n'a eu à répondre qu'à ce genre de questions, je comprends que devant ton problème d'angles inscrits, il ne puisse que faire les yeux ronds et rester sec !! ...
Mais comment a-t-on pu ériger en dogme intangible qu'il ne faut pas mettre les enfants en situation de devoir réfléchir ?? C'est aberrant, tout simplement !!
Bien amicalement, JLB

Borassus
09-04-2024 18:57:40

Une prof très expérimentée m'avait dit que, vis-à-vis des élèves, il faut multiplier par au moins trois le temps qu'on passe pour résoudre un exercice. « Pour vous, l'exercice prend moins de cinq minutes. Comptez donc pour les élèves au moins un quart d'heure. »

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