Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour jelobreuil,

Merci beaucoup pour ce bel "éclair de compréhension" et, surtout, d'avoir réfléchi à ma question !

Oui, le regard neuf et l'angle différent sont fondamentalement importants, quel que soit le domaine !
Ce sont eux qui font véritablement avancer ! Je reviendrai sur le sujet tantôt.

Merci pour le compliment !   :-)

Bonne et belle journée à toi également, ainsi qu'à ceux qui suivent cette discussion.
Bien amicalement aussi,
Bor.

J'ai rallumé mon ordinateur pour dire que "coefficient d'éloignement" me semble plus adapté que "coefficient d'évolution".

Je peux donc me coucher l'esprit libéré.  :-)

Bonsoir, Borassus
Je te propose l'expression "terme post-ultime" pour appeler ton "terme suivant le dernier", notamment parce que "post-dernier" est moins facile à prononcer ...   
D'autre part, pour ce qui est de la signification "philosophico-mathématique" du dénominateur 1 - q, une idée m'est venue, et qui soutient le parallèle avec la suite arithmétique :
suite arithmétique : opération addition : élément neutre 0 : une suite arithmétique de raison 0 est une suite de termes tous égaux   
suite géométrique : opération multiplication : élément neutre 1 : une suite géométrique de raison 1 est une suite de termes tous égaux
donc 1 - q ou q - 1 représente l'écart de raison par rapport à la suite constante
Il reste à introduire formellement le 0 dans les expressions valables pour une suite arithmétique, mais je ne pense pas que cela te soit trop difficile ...
Bien cordialement, JLB

Ton énoncé est plaisant.
(A part que c'est la raison du n+1-ième terme et non du n-ième).
Je le retiens, merci. (C'est mieux que la raison élevée à la puissance nombre de termes.)

Certes, la formule est élégante, mais c'est une formule ! Or je cherche à me libérer au maximum des formules, dont les élèves sont gavés ad nauseam !
Peu me chaut qu'elle se démontre par identité remarquable ou par artifice de calcul !

Je le répète, je veux une expression qui, sur deux pages de face, l'une consacrée à la suite arithmétique, l'autre consacrée à la suite géométrique, soit en quelque sorte le pendant de l'expression "d'en face", et qui soit facilement mémorisable par les élèves dans cette mise en parallèle.
Dans cette approche, la formule, même dûment démontrée, fait figure de verrue, et ne leur parle pas du tout.

Je te prie de garder à l'esprit que ma priorité, ce sont eux !
(Très souvent, ils me demandent « Mais pourquoi on ne nous dit pas cela ?! »
Je sais donc, et de plus en plus car je l'enrichis sans cesse, que ma pédagogie est appréciée.)

Sur ce, je file en cours.

Je demande si la différence $1 - q$ ou $q - 1$, ou le coefficient $\dfrac 1 {1 - q}$ ou $\dfrac 1 {q - 1}$ peut avoir une signification particulière (par exemple, un parallèle avec un autre concept), pouvant éventuellement être désignée en français.

[Ajouté] Autrement dit, quelle est la signification de la différence « raison moins 1» pour une suite géométrique de raison supérieure à 1 (ou «1 moins raison» pour une suite géométrique de raison inférieure à 1) ?

Ou s'il faut simplement mémoriser cette différence, sans qu'il soit possible de lui attribuer une signification particulière.

[Ajouté] Je demande donc une vision de plus haut que celle de la simple formule, si toutefois cette vision est possible.

Je veux pouvoir raisonner, comme pour la suite arithmétique, en premier terme et terme "suivant le dernier".
C'est ainsi que j'expliquerai dorénavant la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique, en montrant qu'on aboutit à cette façon de voir tout simplement en développant $u_0 \left(1 - q^{n+1} \right)$ de la formule classique.

Bonjour Doc,

Oui, je sais bien que la formule $S_n = u_0\dfrac  {1 - q^{n + 1}} {1 - q}$ provient de l'identité que tu cites, qui elle-même provient de la factorisation de $a^n - b^n$.

C'est précisément de cette formule que je veux me libérer et établir une structure similaire à celle de la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique.

Peut-être n'as-tu pas véritablement lu mon post ?

Bonjour,

J'ai l'habitude de présenter les suites arithmétique et géométrique sur deux pages de face, à gauche la suite arithmétique, à droite la suite géométrique.

Se font ainsi face :

• le principe de progression ;

• l'expression du terme général suivant que la suite commence à partir du rang 0 — le premier terme est d'emblée connu ; exemple type : le dépôt d'une somme d'argent sur un compte rémunéré —,
  du rang 1 — le premier terme ne peut être connu qu'après la fin de la première "période" ; exemple type : le salaire annuel effectif un an après l'embauche dans une entreprise —,
  ou est prise en compte à partir du rang p ;

• la somme de termes consécutifs.

Pour la suite arithmétique, le principe de la somme de termes consécutifs est simple : nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier termes. (C'est comme si tous les termes étaient égaux à cette moyenne.)

Pour la suite géométrique, je reconnais que c'est l'une des (rares) formules que je ne sais exprimer selon une certaine logique, et qu'il faut donc connaître par cœur (ou savoir facilement retrouver) :
$S_n = u_p\dfrac  {1 - q^{n - p + 1}} {1 - q}$

Dernièrement, j'ai vu sur les notes de cours d'un élève de Première une approche intéressante (je crois l'avoir déjà vue, mais je n'y ai alors pas prêté attention) :

Au lieu de partir des deux égalités
$S_n = u_0 + u_0 \times q + u_0 \times q^2 + u_0 \times q^3 + \ldots + u_0 \times q^n$
$qS_n = u_0 \times q + u_0 \times q^2 + u_0 \times q^3 + u_0 \times q^4 + \ldots + u_0 \times q^{n+1} $
et d'exprimer la différence $S_n - qS_n = (1 - q)S_n$

le prof écrit
$S_n = u_0 + u_1 + u_2 + u_3 + \ldots + u_n $
$qS_n = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + \ldots + u_{n+1}$

La différence $S_n - qS_n$ s'écrit alors tout simplement $u_0 - u_{n+1}$, d'où
$S_n = \dfrac {u_0 - u_{n+1}} {1 - q}$

Mais il ne va pas plus loin et reste au niveau de la formule.

Par contre, j'apprécie beaucoup car cette expression fait alors naturellement face à la somme des premiers termes d'une suite arithmétique $S_n = (n+1) \times \dfrac {u_0 + u_n} 2$ car elle fait intervenir une opération simple réunissant le premier terme et le "terme suivant le dernier" (je ne sais pas comment le nommer) :

• Si $0 < q < 1$, la suite est décroissante (on considère le cas habituel ou $u_0$ est positif), ce qui signifie que le premier terme est supérieur au "terme suivant le dernier".

  L'expression de la somme est alors $\dfrac {u_0 - u_{n+1}} {1 - q}$  (premier terme moins le "terme suivant le dernier", sur 1 moins la raison)

• Si $q > 1$, la suite est croissante, ce qui signifie que le "terme suivant le dernier" est plus grand que le premier.

  L'expression de la somme est alors $\dfrac {u_{n+1} - u_0} {q - 1}$

La seule chose qu'il faut mémoriser, c'est qu'il faut prendre en compte le "terme suivant le dernier" et non le dernier. (Et que la somme de termes positifs est naturellement positive.)

Question : Peut-on attribuer, au-delà de la simple mémorisation, une signification logique au dénominateur $1 - q$ ou $q - 1$ , ou au coefficient $\dfrac 1 {1 - q}$ ou $\dfrac 1 {q - 1}$ ?

Merci d'avance pour toute suggestion ou indication qui pourrait me faire avancer dans ma réflexion et dans ma pédagogie.

Bonne journée (ensoleillée).
Bor.