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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)

Borassus
23-03-2024 17:58:51

Plus q s'éloigne de 1, vers 0 ou vers des valeurs supérieures à 1, [...]

On comprend très bien ce que signifie q s'éloignant de 1 par valeurs supérieures à 1.

Mais que signifie q s'éloignant de 1 par valeurs comprises entre 0 et 1, alors que la distance entre 0 et 1 est égale à 1 ??

C'est là qu'on peut agréablement introduire la notion d'échelle logarithmique, pas forcément de base 10.
Par exemple, 0,5, c'est-à-dire $2^{-1}$, n'est pas très éloigné de 1, mais 0.25, c'est-à-dire $2^{-2}$ l'est deux fois plus, 0,125, c'est-à-dire $2^{-3}$ l'est trois fois plus.

Donc, ce qui va caractériser " l'éloignement " de q pour des valeurs comprises entre 0 et 1 est la valeur du logarithme en base $a$ de $a^{-k}$, c'est-à-dire $-k$ : plus $k$ devient important, plus $q$ s'éloigne de 1.

Ce qui m'est fondamentalement important dans mes réflexions "novo-regardiennes", c'est de chercher en permanence à établir, à mon tout modeste niveau, des ponts entre les notions et de montrer que les maths constituent un édifice construit tout au long de millénaires extraordinairement et étonnamment cohérent.

Borassus
23-03-2024 12:18:32

Bonjour jelobreuil,

Merci beaucoup pour ce bel "éclair de compréhension" et, surtout, d'avoir réfléchi à ma question !

Oui, le regard neuf et l'angle différent sont fondamentalement importants, quel que soit le domaine !
Ce sont eux qui font véritablement avancer ! Je reviendrai sur le sujet tantôt.

Tant mieux pour tes élèves !

Merci pour le compliment !   :-)

Bonne et belle journée à toi également, ainsi qu'à ceux qui suivent cette discussion.
Bien amicalement aussi,
Bor.

jelobreuil
23-03-2024 09:14:24

Bonjour Borassus,
Je me réjouis vraiment d'avoir pu te souffler ces idées, qui me sont venues tout a fait impromptues ... Un éclair de compréhension ... Peut-être le fait d'aborder la chose avec un regard neuf, ou sous un angle différent ...
Tant mieux pour tes élèves !
Bonne journée, bien amicalement, JLB

Borassus
23-03-2024 02:28:09

Le quotient prend alors une signification de comparaison relative : l'écart entre le premier terme et ce terme post-ultime par rapport à l'écart entre "le coefficient de constance" 1 et le "coefficient d'évolution" q. (Je viens de créer les deux expressions. :-)

J'ai rallumé mon ordinateur pour dire que "coefficient d'éloignement" me semble plus adapté que "coefficient d'évolution".

Je peux donc me coucher l'esprit libéré.  :-)

Borassus
23-03-2024 01:54:04

Bonsoir jelobreuil,

Oh que j'apprécie tes suggestions !! Merci de tout cœur d'avoir compris ma préoccupation "philosophico-mathématique" !!

Je garde "post-ultime". ("Ultime", plus rare, se mémorise mieux que "dernier". Les élèves retiendront donc mieux qu'il faut prendre en compte ce terme de rang n+1.)

donc 1 - q ou q - 1 représente l'écart de raison par rapport à la suite constante

Oh que cela me plaît ! Plus q s'éloigne de 1, vers 0 ou vers des valeurs supérieures à 1, plus la suite s'éloigne de la suite constante dont tous les termes sont égaux à $u_0$.

Le quotient prend alors une signification de comparaison relative : l'écart entre le premier terme et ce terme post-ultime par rapport à l'écart entre "le coefficient de constance" 1 et le "coefficient d'évolution" q. (Je viens de créer les deux expressions. :-)
C'est là une tout autre vision de la formule classique !!

De la même façon, pour une suite arithmétique, plus la valeur absolue de la raison est grande, plus la suite s'éloigne de la suite constante.

Dans les deux cas, c'est très facile à faire comprendre !

Il reste à introduire formellement le 0 dans les expressions valables pour une suite arithmétique

Je ne perçois pas pour l'instant si le parallèle est possible dans la mesure où la logique pour la suite arithmétique est simple : c'est comme si tous les termes étaient égaux à la moyenne du premier et du dernier termes. J'essaierai néanmoins de creuse l'idée.

(Comme analogie avec la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique, j'utilise l'aire d'un trapèze limité par une droite y = ax + b : moyenne des deux bases, multipliée par la distance entre les bases, cette dernière correspondant au nombre de termes. En divisant la distance entre les deux bases par un nombre très grand d'intervalles, je passe subrepticement de la notion de suite arithmétique à celle d'intégrale... :-)

Maintenant, je peux rendre homogènes mes deux pages de face :
pour le principe de progression, je peux sur les deux pages introduire la notion d'écart avec la suite constante ;
pour la somme de termes consécutifs, les deux suites font intervenir les termes premier et dernier, et les termes premier et post-ultime.
Et en plus je donne à la somme des termes d'une suite géométrique une signification inédite de ratio entre deux écarts.

Merci, merci, merci, jelobreuil !!

Très cordialement,
Bor.

jelobreuil
22-03-2024 23:59:21

Bonsoir, Borassus
Je te propose l'expression "terme post-ultime" pour appeler ton "terme suivant le dernier", notamment parce que "post-dernier" est moins facile à prononcer ...   
D'autre part, pour ce qui est de la signification "philosophico-mathématique" du dénominateur 1 - q, une idée m'est venue, et qui soutient le parallèle avec la suite arithmétique :
suite arithmétique : opération addition : élément neutre 0 : une suite arithmétique de raison 0 est une suite de termes tous égaux   
suite géométrique : opération multiplication : élément neutre 1 : une suite géométrique de raison 1 est une suite de termes tous égaux
donc 1 - q ou q - 1 représente l'écart de raison par rapport à la suite constante
Il reste à introduire formellement le 0 dans les expressions valables pour une suite arithmétique, mais je ne pense pas que cela te soit trop difficile ...
Bien cordialement, JLB

DrStone
22-03-2024 17:37:04
Borassus a écrit :

A part que c'est la raison du n+1-ième terme et non du n-ième

Oops. Je n’ai pas vu que je m’étais loupé : j’ai même écrit q-ième à la place de n-ième… :=)
Je vais corriger pour ceux qui passeront derrière.

Borassus a écrit :

[…]
Je te prie de garder à l'esprit que ma priorité, ce sont eux !
(Très souvent, ils me demandent « Mais pourquoi on ne nous dit pas cela ?! »

Je n’ai jamais, ni cru, ni prétendu, le contraire! Lorsque dans une autre discussion je disais « le super prof Borassus » je le pensais (et le pense toujours) réellement.
Simplement, que tu le veuilles ou non, à un moment, pour faire des maths… il faut faire des maths ! Sinon, c’est comme si tu me disais que sous prétexte que machin-truc est obèse, on arrête de courir à la course et qu’à la place on ne fait plus que marcher rapidement (mais pas trop quand même) parce que machin-truc est gavé ad nauseam de devoir courir… Tu conviens que ce serait n’importe quoi ?
Eh bien moi je trouve que c’est n’importe quoi qu’on fasse ça pour les maths et qu’elles soient les seules à avoir droit à ce traitement.
Chez moi, ça ne percute tout bonnement pas. Mais ce n’est qu’une conception comme une autre des choses. Et comme la France est encore (pour combien de temps ?$) un pays libre, libre à chacun d’y adhérer ou non. ^_^

Borassus
22-03-2024 17:29:18

Ton énoncé est plaisant.
(A part que c'est la raison du n+1-ième terme et non du n-ième).
Je le retiens, merci. (C'est mieux que la raison élevée à la puissance nombre de termes.)


Certes, la formule est élégante, mais c'est une formule ! Or je cherche à me libérer au maximum des formules, dont les élèves sont gavés ad nauseam !
Peu me chaut qu'elle se démontre par identité remarquable ou par artifice de calcul !

Je le répète, je veux une expression qui, sur deux pages de face, l'une consacrée à la suite arithmétique, l'autre consacrée à la suite géométrique, soit en quelque sorte le pendant de l'expression "d'en face", et qui soit facilement mémorisable par les élèves dans cette mise en parallèle.
Dans cette approche, la formule, même dûment démontrée, fait figure de verrue, et ne leur parle pas du tout.

Je te prie de garder à l'esprit que ma priorité, ce sont eux !
(Très souvent, ils me demandent « Mais pourquoi on ne nous dit pas cela ?! »
Je sais donc, et de plus en plus car je l'enrichis sans cesse, que ma pédagogie est appréciée.)


Sur ce, je file en cours.

DrStone
22-03-2024 16:50:29

Pour le coup, je ne pense pas qu'il existe une autre formule toute prête à ressortir telle quelle ; surtout que la "formule"

$$u_0\frac{1-q^n}{1-q}$$

est déjà fichetrement élégante.

Tu as en effet

$$\text{terme initial}\times\frac{1-\text{raison du}\,n+1^\text{ième}\text{terme}}{1-\text{raison du}\, 1^\text{er}\text{terme}}$$

Mais peut-être que tu as raison et que je ne comprends tout simplement pas ce que tu cherches de plus.

Auquel cas, je te renvoie vers les séries géométriques, dont, pour commencer, voici la page Wikipédia.

Borassus
22-03-2024 15:54:37
Borassus a écrit :

Question : Peut-on attribuer, au-delà de la simple mémorisation, une signification logique au dénominateur $1 - q$ ou $q - 1$ , ou au coefficient $\dfrac 1 {1 - q}$ ou $\dfrac 1 {q - 1}$ [ajouté] dans l'expression $\dfrac {u_0 - u_{n+1}} {1 - q}$ ou dans $\dfrac 1 {1- q} \times (u_0 - u_{n+1}) $ ?   (dans le cas où $0 < q < 1$)

Je demande si la différence $1 - q$ ou $q - 1$, ou le coefficient $\dfrac 1 {1 - q}$ ou $\dfrac 1 {q - 1}$ peut avoir une signification particulière (par exemple, un parallèle avec un autre concept), pouvant éventuellement être désignée en français.

[Ajouté] Autrement dit, quelle est la signification de la différence « raison moins 1» pour une suite géométrique de raison supérieure à 1 (ou «1 moins raison» pour une suite géométrique de raison inférieure à 1) ?

Ou s'il faut simplement mémoriser cette différence, sans qu'il soit possible de lui attribuer une signification particulière.

[Ajouté] Je demande donc une vision de plus haut que celle de la simple formule, si toutefois cette vision est possible.

Je veux pouvoir raisonner, comme pour la suite arithmétique, en premier terme et terme "suivant le dernier".
C'est ainsi que j'expliquerai dorénavant la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique, en montrant qu'on aboutit à cette façon de voir tout simplement en développant $u_0 \left(1 - q^{n+1} \right)$ de la formule classique.

DrStone
22-03-2024 15:24:16

Je crois déceler une certaine animosité… d'autant plus que ta question était

Borassus a écrit :

Question : Peut-on attribuer, au-delà de la simple mémorisation, une signification logique au dénominateur $1 - q$ ou $q - 1$ , ou au coefficient $\dfrac 1 {1 - q}$ ou $\dfrac 1 {q - 1}$ ?

et amenait à ma réponse… mais soit, disons que je suis fautif de ne pas avoir correctement lu ton post. ^_^

Peux-tu donc me réexpliquer ce que je n'ai pas bien compris, à savoir ce que tu veux réellement et pourquoi tu le veux, histoire que je te réponde du mieux que le puisse ? ^_^

Borassus
22-03-2024 15:05:18

Bonjour Doc,

Oui, je sais bien que la formule $S_n = u_0\dfrac  {1 - q^{n + 1}} {1 - q}$ provient de l'identité que tu cites, qui elle-même provient de la factorisation de $a^n - b^n$.

C'est précisément de cette formule que je veux me libérer et établir une structure similaire à celle de la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique.

Peut-être n'as-tu pas véritablement lu mon post ?

DrStone
22-03-2024 12:42:32

Bonjour Borassus.

Tu as une identité usuelle/remarquable :

$$S_n=u_0+u_1+u_2+\dots+u_n = u_0+(u_0\times q)+(u_0\times q^2)+\dots(u_0\times q^n)=u_0(1+q+q^2+\dots+q^n)$$

Si tu te souviens que

$$(1-q)(1+q+q^2+\dots+q^n)=1-q^{n+1}$$

alors, pour tout $q\neq 1$

$$S_n=u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$$

Borassus
21-03-2024 14:27:09

Bonjour,

J'ai l'habitude de présenter les suites arithmétique et géométrique sur deux pages de face, à gauche la suite arithmétique, à droite la suite géométrique.

Se font ainsi face :

  • le principe de progression ;

  • l'expression du terme général suivant que la suite commence à partir du rang 0 — le premier terme est d'emblée connu ; exemple type : le dépôt d'une somme d'argent sur un compte rémunéré —,
    du rang 1 — le premier terme ne peut être connu qu'après la fin de la première "période" ; exemple type : le salaire annuel effectif un an après l'embauche dans une entreprise —,
    ou est prise en compte à partir du rang p ;

  • la somme de termes consécutifs.

Pour la suite arithmétique, le principe de la somme de termes consécutifs est simple : nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier termes. (C'est comme si tous les termes étaient égaux à cette moyenne.)

Pour la suite géométrique, je reconnais que c'est l'une des (rares) formules que je ne sais exprimer selon une certaine logique, et qu'il faut donc connaître par cœur (ou savoir facilement retrouver) :
$S_n = u_p\dfrac  {1 - q^{n - p + 1}} {1 - q}$


Dernièrement, j'ai vu sur les notes de cours d'un élève de Première une approche intéressante (je crois l'avoir déjà vue, mais je n'y ai alors pas prêté attention) :

Au lieu de partir des deux égalités
$S_n = u_0 + u_0 \times q + u_0 \times q^2 + u_0 \times q^3 + \ldots + u_0 \times q^n$
$qS_n = u_0 \times q + u_0 \times q^2 + u_0 \times q^3 + u_0 \times q^4 + \ldots + u_0 \times q^{n+1} $
et d'exprimer la différence $S_n - qS_n = (1 - q)S_n$

le prof écrit
$S_n = u_0 + u_1 + u_2 + u_3 + \ldots + u_n $
$qS_n = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + \ldots + u_{n+1}$

La différence $S_n - qS_n$ s'écrit alors tout simplement $u_0 - u_{n+1}$, d'où
$S_n = \dfrac {u_0 - u_{n+1}} {1 - q}$

Mais il ne va pas plus loin et reste au niveau de la formule.


Par contre, j'apprécie beaucoup car cette expression fait alors naturellement face à la somme des premiers termes d'une suite arithmétique $S_n = (n+1) \times \dfrac {u_0 + u_n} 2$ car elle fait intervenir une opération simple réunissant le premier terme et le "terme suivant le dernier" (je ne sais pas comment le nommer) :

  • Si $0 < q < 1$, la suite est décroissante (on considère le cas habituel ou $u_0$ est positif), ce qui signifie que le premier terme est supérieur au "terme suivant le dernier".

    L'expression de la somme est alors $\dfrac {u_0 - u_{n+1}} {1 - q}$  (premier terme moins le "terme suivant le dernier", sur 1 moins la raison)

  • Si $q > 1$, la suite est croissante, ce qui signifie que le "terme suivant le dernier" est plus grand que le premier.

    L'expression de la somme est alors $\dfrac {u_{n+1} - u_0} {q - 1}$

La seule chose qu'il faut mémoriser, c'est qu'il faut prendre en compte le "terme suivant le dernier" et non le dernier. (Et que la somme de termes positifs est naturellement positive.)


Question : Peut-on attribuer, au-delà de la simple mémorisation, une signification logique au dénominateur $1 - q$ ou $q - 1$ , ou au coefficient $\dfrac 1 {1 - q}$ ou $\dfrac 1 {q - 1}$ ?

Merci d'avance pour toute suggestion ou indication qui pourrait me faire avancer dans ma réflexion et dans ma pédagogie.

Bonne journée (ensoleillée).
Bor.

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