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Bonjour,

Autres démonstrations, types classe de 3e.
J'appelle A le sommet de l'angle droit, B le sommet au-dessus et C le dernier sommet restant.
J'appelle M le sommet du carré sur [AB], N le sommet du carré appartenant à l'hypoténuse et P le dernier sommet du carré.

On a (MN) // (AC)
ON peut donc appliquer le théorème de Thalès au triangle ABC :
$\frac{BM}{BA}=\frac{BN}{BC}=\frac{MN}{AC}$
On a MB=5 et BA=$x$ d'où $BA= x+5$
On a $AP = x$ et PC =20 d'où $AC=AP+PC = x+20$
D'où en utilisant le 1er et le dernier rapport, on arrive à :
$\frac{5}{x+5}=\frac{BN}{BC}=\frac{x}{x+20}$

Et l'égalité des produits en croix permet d'écrire :
$5(x+20)=x(x+5)$
Soit
$5x+100=x^2+5x$
$x^2=100$
$x=\sqrt{100}=10$
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Ou encore avec un peu de trigonométrie
On a (MN) // (AC), les angles $\widehat{BNM}$ et $\widehat{BCA}$ en position d'angles correspondants sont donc égaux.
Leurs tangentes sont donc égales :
Dans le tr BMN rectangle en M :
$\tan(\widehat{BNM})= \frac{BM}{MN}=\frac 5 x$
Dans le tr BAC rectangle en  :
$\tan(\widehat{BCA})= \frac{BA}{BC}=\frac {x+5}{x+20}$
D'où
$\frac 5 x=\frac {x+5}{x+20}$
et :
$x(x+5) = 5(x+20)$
$x^2+5x=5x+100$
soit $x^2=100$ et x=10
@+

oui le résultat est correct.il te suffit de calculer l'aire du grand triangle de 2 façons.