Répondre

yoshi · 08-03-2024 21:34:44

Bonsoir,

Ces axiomes devaient figurer dans les progs (ou Fantaisie de mon prof ?) de Terminale Mathématiques Élémentaires de 1965/66 puisque je les avais vus cette année scolaire-là.

Je me souvenais de leur existence, mais j'en avais oublié leur contenu.
Bibmath y fait référence ici

@+

Borassus · 08-03-2024 19:07:09

J'ai retrouvé l'ouvrage en question, et la page concernée.

Il s'agit du livre « La belle histoire des maths » de Michel Rousselet, aux éditions De Boeck.

La page 318 est intitulée « L'arithmétique de Peano »

Voici les extraits qui se rapportent directement à notre sujet :

Michel Rousselet a écrit :

Comme l'Allemand Richard Dedekind, mais d'une tout autre manière, l'Italien Giuseppe Peano souhaitait donner une base solide à l'arithmétique. En 1889, il réussit son entreprise en énonçant 5 axiomes, et en utilisant comme notions premières «entier naturel », « zéro » et « successeur d'un entier ».
Les axiomes sont les suivants :
$0$ est un entier naturel [axiome 1] ;
tout entier naturel $n$ possède un successeur unique noté $S(n)$ [A2] ;
aucun entier naturel n'a $0$ pour successeur [A3] ;
deux entiers naturels qui ont le même successeur sont égaux [A4].
Peano ajoute un 5ème axiome pour autoriser la raisonnement par récurrence :
« Si une propriété est vérifiée par $0$ et, si pour tout entier naturel $n$ qui la vérifie, $S(n)$ la vérifie également, alors la propriété est vraie pour tous les entiers naturels » [A5]
Les successeurs des entiers $0$, $1$, $2$, $3$ sont notés comme d'habitude $1$, $2$, $3$, $4$.
[...]
Les axiomes étant posés, Peano définit l'addition et la multiplication des entiers.
Pour l'addition, il choisit les 2 relations suivantes :
$ n + 0 = n$ pour tout entier $n$ [relation D1] ;
$n + S(m) = S(n + m)$ quels que soient les entiers $n$ et $m$ [S2].
Démontrons par exemple, avec ces axiomes et ces définitions, que $1 + 1 = 2$. On peut écrire $1 + 1 = 1 + S(0)$ d'où, avec la relation D2, $1 + S(0) = S(1 + 0)$.
La relation D1 permet d'écrire $S(1 + 0) = 1$. On en déduit $1 + 1 = S(1) = 2$ ... CQFD !
[...]

Bernard-maths · 08-03-2024 17:43:21

Bonsoir !

Je pense que si 1 + 1 ≠ 2 alors 1 ≠ 1 ... car 1/2 + 1/2 ≠ 1 ! La démonstration se fait au bistrot : demande un 1/2, et tu auras au mieux 1/3.

C'est là qu'on voit que les mathématiques sont universelles ...

B-m

PS : à part ca, je pense comme Roro.

Borassus · 08-03-2024 17:25:02

Je reconnais bien là la rigueur de Roro ! :-)

J'ai vu dans un ouvrage d'histoire des maths — j'essaierai de retrouver l'ouvrage et la page — qu'un mathématicien du XIXème siècle — je ne sais plus qui — avait justement démontré la succession des entiers avec une raison d'une unité à partir de, précisément, la notion de "successeur de".
Mais c'est un souvenir trop vague pour que je puisse le développer maintenant. Je reviendrai tantôt dessus, lorsque j'aurai retrouvé l'extrait en question.

Roro · 08-03-2024 17:09:56

Bonjour,

Je ne rigole pas mais comment le démontres-tu ?
Pour moi, c'est la définition de l'entier "2" (c'est le successeur de "1"), et je ne sais pas démontrer une définition !

Roro.

Borassus · 08-03-2024 16:33:28

Ne rigolez pas : ça se démontre ! :-)

Borassus · 08-03-2024 16:14:51

Bonjour omar, Roro, et tout le monde,

J'ajouterais un détail de haut niveau mathématique : $2 = 1 + 1$.

Si, si !! :-)

Roro · 08-03-2024 11:01:59

Bonjour,

La question de Borassus est pertinente : pour une question de ce type, la première chose à faire est une analyse. Ensuite tu feras une synthèse.

Analyse : tu as montré que les premiers termes de la suite était 1, 2, 3, 4. Et tu veux montrer que c'est une suite arithmétique. Si c'est le cas, alors comme tu l'as dit, tu as obtenu la raison : $r=1$. Puisque tu connais le premier terme $u_0=1$, j'imagine que tu connais une formule permettant d'obtenir $u_n$ en fonction de $n$ :
$$u_n = ...$$

Synthèse : ce que tu as fait dans l'analyse ne prouve pas que la suite $(u_n)$ est arithmétique. Tu as simplement dit que si elle était arithmétrique alors c'était la suite définie par $u_n=...$.
Pour montrer que $u_n=...$ je pense que tu peux procéder par récurrence. Je te laisse regarder comment montrer la proposition
$$\mathcal P(n) ~:~ u_n = ...$$
par récurrence sur $n\in \mathbb N$ en sachant que $u_0=1$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n^2+2n+3}$.

Roro.

P.S. Merci Bernard, j'ai corrigé la coquille !

omar mathématicien · 08-03-2024 10:44:58

rebonjour,
oui, je l'ai fait
U0=1 U1=2 U2=3 U3=4 ....
ça donné empiriquement une suite arithmétique r=1

Borassus · 08-03-2024 00:29:23

Bonsoir (ou bonjour) omar mathématicien,

As-tu commencé par calculer les premiers termes pour percevoir de quelle suite arithmétique il peut bien s'agir ?

omar mathématicien · 07-03-2024 23:56:45

Bonsoir,
je suis en terminal et un autre lycée de la ville, leur prof leur a donné une question réclamant assez d'intuition,
nous avons une suite U(n+1)=sqrt(((Un)^2)+2n+3)
et U0 =1
prouve que Un est une suite arithmétique

$U_{n+1}=\sqrt{U^2_n+2n+3}$

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Répondre

Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)

Pied de page des forums