Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir,

Je comprends maintenant beaucoup mieux le positionnement de Black Jack !

Effectivement, la logique des développements limités est beaucoup plus adaptée aux calculs de physique dans la mesure où elle permet de remplacer des expressions littérales pouvant devenir rapidement ingérables du point de vue purement algébrique par de gentils polynômes de degré 1, 2 ou 3 à la portée d'un(e) élève de collège.

Boinjour,

P.S. L'argument de dire qu'on n'est pas un matheux est facile mais pas vraiment honnête. Que signifie "matheux" ?
Il y aurait des maths pour ceux qui savent et des maths pour les autres. Ces autres qui ont l'air de même mieux savoir certaines choses que les matheux ne voudraient pas voir ?

Chacun son domaine, je ne fais, en général, des maths qu'avec ma casquette de Physicien et beaucoup de mathématiciens le font avec une casquette de mathématiciens ... et souvent la vision des choses est différente.

Un exemple (rien à voir avec Le Marquis ou les DL) ... qui va peut-être en fâcher certains.

Ici : https://www.ilephysique.net/sujet-fromage-330020.html

Ce "détail" montre simplement que suivant sa formation, on ne regarde pas forcément les problèmes concrets avec les mêmes yeux.

Bonsoir,

Vous vous amusez bien à vous chamailler pour cette histoire (et ce n'est pas la première fois). Comme je le disais au début, la fameuse règle de l'Hospital n'est rien d'autre qu'un cas particulier de l'usage des DL. C'est quand même une des premières applications pratiques des DL, et c'est beaucoup enseigné :

Pour déterminer la limite d'un quotient (indéterminé 0/0 par exemple) $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}$ une des choses qu'on apprend est de trouver un équivalent de $f$ et un équivalent de $g$. La plupart du temps à l'aide des DL, et du premier terme non nul de celui-ci, c'est très facile.

Dans les cas les plus simples (f'(0) et g'(0) non nuls), on a alors $f(x)\approx f'(0)x$ et $g(x)\approx g'(0)x$ et on retrouve bien entendu
$$\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)}.$$

On peut apprendre cette règle de l'Hospital si on le souhaite mais de mon point de vue, il vaut mieux comprendre directement que, lorsqu'on a une forme indéterminée 0/0, le plus important est de comprendre comment $f$ et $g$ se rapprochent de $0$... et pour cela le bon outil est la notion d'équivalent...

Roro.

P.S. L'argument de dire qu'on n'est pas un matheux est facile mais pas vraiment honnête. Que signifie "matheux" ?
Il y aurait des maths pour ceux qui savent et des maths pour les autres. Ces autres qui ont l'air de même mieux savoir certaines choses que les matheux ne voudraient pas voir ?
Black Jack se fait une idée bien curieuse de ces termes : "matheux" et "maths".
Pour ma part, je ne pense pas que les maths sont réservés à une certaine classe, au contraire plus on est de fous plus on rit !

P.P.S. Encore écrit en même temps que Glozi (et encore avec les mêmes idées...) à croire qu'on fait exprès ! Bonne nuit également.

Voila comment je ferais (mais je n'ai rien d'un matheux) , mix du Marquis et DL

$\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x^{100})}{(1-\cos(x))^{50}}$ indéter du type 0/0 --> Règle du Marquis.

$=\lim_{x\to 0} \frac{\frac{100x^{99}}{1+x^{100}}}{50(1-cos(x))^{49} * sin(x)}$

Et DL ...

$= \lim_{x\to 0} \frac{\frac{100x^{99}}{1+x^{100}}}{50(\frac{x^2}{2})^{49} * x}= \lim_{x\to 0} \frac{100x^{99} * 2^{49}}{(1 + x^{100})*50 * (x^{99})} = 2^{50}$

Bonsoir,
Je ne comprends pas ce que tu veux dire par "justifier qu'ils sont bien représentatifs" en parlant des DL ? (ça fait plusieurs fois que tu l'écris et je n'ai toujours pas compris).

Sinon, voyons une solution avec des DL, en écrivant $x=8+h$
$\frac{(8+h)^{1/3}-2}{(3(8+h)+3)^{1/3}-3}=\frac{2(1+h/8)^{1/3}-2}{3(1+\frac{h}{9})^{1/3}-3}= \frac{2+\frac{h}{12}+o(h)-2}{3+\frac{h}{9}+o(h)-3}=\frac{9}{12}+o(1)=\frac{3}{4}+o(1)$
Donc la limite existe et vaut $3/4$.

A mon tour :)
Trouver la limite (si elle existe) de
$\frac{\ln(1+x^{100})}{(1-\cos(x))^{50}}$
lorsque $x\to 0$ (c'est une forme indéterminée de la forme $0/0$).
(bonne chance avec le marquis !)

Bonjour Black Jack,

Excuse-moi, mais cette réponse me semble quelque peu bizarre :
Nous ne sommes ici absolument pas dans le cadre d'un quelconque boulot dans lequel il faut travailler vite pour ne pas être sanctionné, mais bien dans le cadre d'une pédagogie bénévole.

Or, s'il y a bien un domaine où la rentabilité horaire n'est pas de mise, c'est bien la pédagogie, à plus forte raison lorsqu'elle est mue par la passion. (Si je comptabilise le temps que je consacre à l'écriture de mes documents détaillés pour mes élèves, je dois tourner à deux ou trois euros de l'heure. Pas vraiment rentable comme activité !)

Dès que j'ai lu l'indication de Roro, il m'a fallu de l'ordre d'une minute trente pour calculer la limite, recherche sur le Net du développement de $ln(1 + x)$ comprise, car je l'avais effectivement oubliée. 
J'ai passé sensiblement plus de temps à calculer au brouillon les deux dérivées successives, car les "quatre lignes" demandent une certaine attention.

Je ne suis donc pas vraiment convaincu de l'économie de temps apportée par la "règle du Marquis".

Par contre, oui, je suis tout à fait d'accord avec toi : c'est une erreur de ne pas l'enseigner (comme je l'écrivais, dès la Terminale, voire la Première), ne serait-ce que parce qu'elle permet de s'assurer que la limite trouvée par une autre voie est bien correcte.

Bonsoir à tous, et bonsoir Black Jack,

Maintenant que je suis rentré de cours et ai dîné, je peux exposer mes réponses :

Qui coulent de source pour une personne comprenant aisément et rapidement les étapes d'un calcul !

Comme j'écris non pas aux éminents spécialistes intervenant dans ce forum mais aux lycéens qui suivent tant bien que mal nos débats — j'espère qu'ils en tirent quand même quelques connaissances et compréhensions —, et comme je sais ô combien d'expérience à quel point ils sont loin de comprendre ce qui est censé couler de source, même sur des points d'une évidence totale, j'ai rédigé le développement des calculs comme je le fais d'habitude avec mes élèves — j'ai écrit pour eux je ne sais combien de milliers de pages manuscrites —, en décomposant soigneusement les étapes, même les plus élémentaires. (J'ai hésité pour $lne$ mais, connaissant mon public, ai préféré le garder.)

A propos de la perte de temps, puis-je malicieusement faire remarquer à BJ que le temps que j'ai pris pour rédiger "mon roman" — et encore j'ai vite abandonné l'écriture laborieuse en LaTeX — a précisément pour source directe le peu de temps que ce même BJ a consacré à rendre lisibles ses expressions (avec, en prime, l'omission d'un facteur) ?..

Pour ce qui est du tirage en longueur, j'ai pu observer deux catégories d'auteurs :
ceux dont on lit confortablement les développements, en ayant l'impression d'être en permanence guidé, même dans le détail ;
et ceux, bien moins courtois, qui obligent leurs lecteurs, du moins ceux qui s'accrochent, à se battre ligne par ligne pour comprendre la façon qui les fait aboutir de telle expression à telle autre. (C'était à ce type d'auteurs — "on voit à l'évidence que" ; "on en déduit immédiatement que" — que je faisais allusion.)

Autrement dit, il y a les auteurs qui prennent le temps de permettre à leurs lecteurs d'économiser le leur ; et il y a ceux qui estiment du haut de leur « coulement de source » que leurs lecteurs ne méritent que le juste minimum syndical.
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Pour en revenir à la question technique, je comprends tout à fait ton argument, Black Jack :
la règle de l'Hospital — ou plutôt, semble-t-il, de Jean Bernoulli du fait d'un arrangement financier avec son "génial marquis" d'élève — ne nécessite pas d'apprentissage particulier, notamment de formules qu'il faut mémoriser ou savoir retrouver.
Je l'ai donc testée pas plus tard que ce soir avec un élève de Terminale à qui j'ai expliqué la détermination de précisément cette limite objet de nos échanges. (Mais, au lieu de passer par le logarithme de la fonction, j'ai utilisé la structure fort utile $a^b = e^{b \cdot lna}$, ce qui permet d'aboutir directement à la limite.)

Petite note au passage : Pour lui, pourtant assez bon élève, le passage de   $\frac 1 {sinx} \left[ \frac {ln(1 + x) - x} x \right]$   à   $\frac {ln(1 + x) - x} {xsinx}$   ne coulait pas immédiatement de source...

Tu as cependant, me semble-t-il, raison sur ce point : la règle dite "de l'Hospital" mériterait d'être davantage enseignée, par exemple en Terminale au moment où on étudie les limites de fonctions, incluant les indéterminations de type zéro sur zéro, ou infini sur infini.
(Les exercices de détermination zéro sur zéro relèvent souvent de l'expression d'un nombre dérivé. La règle de l'Hospital peut apporter une autre façon de procéder.)

Je traiterai donc de la "règle du génial Marquis" avec mes élèves de Terminale.

Merci donc, Black Jack, d'avoir fait évoluer ma pratique pédagogique !

(Pratique que je cherche en permanence à faire évoluer !
Je déteste notamment les polycopiés transmis aux élèves par les profs, qui figent durablement ces derniers, d'année en année, dans leur train-train.
Pour ma part, j'improvise et innove sans cesse, même lorsque j'ai été prof face à une classe, ou lorsque j'anime des stages pendant les vacances scolaires.)

Bonsoir,
Je ne suis pas un grand fan de la règle du Marquis (mes profs ne me l'ayant pas enseignée, je l'ai découverte "en retard" et j'avais déjà un certain recul et de la pratique sur les DL, aussi je ne l'ai jamais vraiment utilisée en exo).
Néanmoins, ce qui me dérange avec la règle du Marquis c'est que j'ai l'impression qu'on écrit sans vergogne $\lim_{x\to 0}\dots = \lim_{x\to 0}\dots=\lim_{x\to 0}\dots$, on sera bien embêté à la fin si on trouve un truc qui n'a pas de limite (du genre $\sin(1/x)$) car du coup rien de ce qu'on aura écrit n'aura de sens et en plus on ne pourra pas conclure sur la première limite... Pour moi, passer un certain moment, l'usage de l'écriture $\lim$ est à proscrire (ou alors ne jamais écrire $\lim$ sans avoir préalablement montré l'existence de la dite limite). Rédiger alors une preuve avec trois ou quatre applications de la règle du Marquis (en étant rigoureux) prend beaucoup de place, ou alors elle demande d'être "faite à l'envers" ce qui au final prend selon moi plus de temps que d'apprendre ses DL :)
Bonne soirée