Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour tout le monde, bonjour Roro,

Je me rends compte à la suite de ton message que ma volonté permanente de me libérer des nombreuses formules indéfiniment répétées — j'utilise l'adjectif peu amène "bêlées" — entraîne, non seulement un indéniable énervement permanent contre l'enseignement des maths tel qu'il est pratiqué, mais aussi une attitude quelque peu péremptoire pouvant se traduire par quelque chose comme « Mais enfin ! comment les profs et les auteurs peuvent-ils ne pas voir l'évidence que, moi, je vois ??!! »

Donc, oui, une certaine indulgence est nécessaire !
Et l'attitude que je dois apprendre à pratiquer est plutôt « L'écriture courante est celle-ci. Je te propose cette autre lecture qui te permet de voir la concordance — plutôt que "cohérence" — de notions pouvant sembler différentes. »

En appliquant cette attitude à l'exemple cité, la reformulation moins "despotique" de la somme des $n$ premiers entiers naturels pourrait être :

« En remarquant que compter est la suite arithmétique de raison 1 et de premier terme 1 — c'est d'ailleurs la toute première suite arithmétique connue et apprise —, on peut écrire la somme des $n$ premiers entiers naturels sur le modèle de la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique : $n \dfrac {1 + n}{2}$.
Certes, cette écriture est totalement inhabituelle — moi-même j'utilise la formule classique $\dfrac {n(n+1)}{2}$ —, mais elle permet de se rendre compte qu'une formule, même si elle est systématiquement répétée, ne doit pas être prise à la lettre comme une vérité absolue. »

Merci donc, Roro, de ton intervention qui a pour moi une portée dépassant le cadre de mes cours et de ma présence quelque peu conséquente (trop ? :-) sur les forums Collège/lycée et Supérieur !

Je me permets toutefois un petit bémol :

Je vois, à travers les notes de cours et polycopiés, très peu d'enseignants faisant montre d'une certaine individualité — de mémoire, deux seulement, l'un d'un lycée public local de bon aloi, l'autre d'un lycée privé prestigieux.
Comme, en outre, les élèves ne cherchent malheureusement plus vraiment à comprendre et à apprendre par eux-mêmes, je doute du plaisir qu'ils auront à se faire eux-mêmes une idée si on ne les entraîne pas à "voir autrement".

Bonne journée de début de semaine.
Bien cordialement,
Borassus

PS : Merci encore, Roro !

Bonjour,

Merci de laisser un peu de liberté aux mathématiques !!!

Je lis régulièrement les posts et j'ai l'impression qu'il est souvent écrit qu'on devrait faire comme-ci, comme-ça, que ce qui est écrit ne l'est pas bien, etc. (je ne parle que de la formulation pas de la justesse). Parfois, c'est en effet pédagogique d'écrire les choses d'une certaine façon, mais il y a probablement toujours des arguments pour l'écrire d'une autre.

Je voulais le dire parce que je me suis demandé pourquoi le mot "cohérent" était souligné ci-dessous, et pourquoi Borassus a écrit "il faudrait". C'est assez énervant de vouloir nos imposer des idées :

Sur cet exemple, ça ne me gène pas du tout d'écrire que la somme des $n$ premiers entiers naturels vaut $\frac{n(n+1)}{2}$. En tout cas, pas plus que de dire que l'aire d'un triangle vaut $\frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$.

Bref, je le répète : un peu d'indulgence et de liberté ne nuit pas toujours ! Et je rajouterai qu'il est bon de laisser cette liberté aux élèves qui vont croiser plusieurs enseignants différents... et auront le plaisir de se faire eux-même leur idée.

Roro.

Bonsoir DeGeer,

J'essaie de trouver un exemple illustrant ce que tu écris.
As-tu un exemple à nous proposer ?

Le problème n'est pas tant dans le manque d'entraînement technique — qui, comme je l'écrivais dans un de mes posts, relève maintenant d'une sorte de "dressage", dans le sens quasi pavlovien du terme — que, oui, dans la non transmission par les différents acteurs de la compréhension profonde.

C'est véritablement étonnant, une très grande partie des formules enseignées sont limitées au strict minimum et ne traduisent pas du tout la logique générale.

Trois exemples, parmi beaucoup d'autres :

• $(a + b)^2$ ; mais un élève lambda ne sait pas développer $(a + b + c)^2$.
  (Je crois l'avoir écrit : un élève de Terminale options maths m'a répondu « Ben, j'écris $(a + b +c)(a + b +c)$ et je développe. Sa réponse est tout à fait révélatrice.)

• $a^2 - b^2$, exceptionnellement $a^3 - b^3$, jamais au-delà ;

• ln(ab) = lna + lnb, sans expliquer la logique générale qui est « le logarithme d'un produit est égal à la somme des logarithmes des facteurs composant le produit, quel que soit le nombre de facteurs. »

Mais je me rends aussi compte que les profs (et les auteurs) ne comprennent parfois pas eux-mêmes la logique de ce qu'ils enseignent.
L'exemple que je cite souvent est la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique, par exemple de $u_0$ à $u_n$.
Je vois :

• $S_n = (n + 1) \dfrac {u_0 + u_n}{2}$, qui est effectivement la formule correcte, mais expliquée comme étant le nombre de termes multiplié par la demi-somme du premier et du dernier termes.
  (En français "michunien", la "demi-somme" de deux nombres s'appelle la moyenne de ces deux nombres.
  Et on n'explique pas que c'est comme si tous les termes considérés étaient égaux à cette moyenne.)

• Mais aussi $\dfrac{n + 1}{2} (u_0 + u_n)$
  (Quid si le nombre de termes est impair ?)

• Mais aussi $\dfrac {(n + 1)(u_0 + u_n)}{2}$
  (Le nombre de termes, multiplié par la somme du premier et du dernier termes, le tout divisé par 2. Signification ?)

Je ne leur jette cependant pas la pierre : je vois par moi-même avec quelle difficulté je me libère peu à peu, et de façon permanente, des formules — il n'y pas une seule semaine où je ne progresse pas dans ma compréhension, et dans la transmission de cette compréhension —, alors que je n'ai pas été formaté par un quelconque sérail...

On en a déjà parlé, ils manquent d'entrainement «technique»… Mais bon, comme toujours «on évitera toute technicité». :=) Si encore ils avaient une compréhension profonde des outils sous-jacents, ce serait un mal pour un bien ; mais j'ai l'impression qu'ils en sont loin.

Partons sur des têtes brunes alors ! Ou même des têtes tout court !

Oh ! Je comprends mieux ta problématique que j'avais visiblement mal cernée. En effet, l'exemple de notre ami est intéressant et occupera un bon moment tes petites têtes blondes. ^_^

Bonsoir Doc,

Justement, c'est trop simple !
Ils comprennent très aisément que l'inverse de l'inverse d'un nombre est le nombre lui-même, et que l'opposé de l'opposé d'un nombre est le nombre lui-même.

Par contre, s'ils savent reconnaître la structure d'une fonction composée (le plus souvent, à seulement deux niveaux d'imbrication...), ils savent beaucoup moins élaborer une fonction composée à partir d'une fonction initiale, et je les vois régulièrement buter sur $f \circ f$.

Je m'en rends très souvent compte lors de l'écriture par rapport à un cas concret du taux d'accroissement exprimé sous la forme $\dfrac {f(a + h) - f(a)}{h}$ : $f(a+h)$ leur pose problème...

Je m'en rends aussi compte lorsque dans un exercice à rallonge (en générale en Terminale) on demande de démontrer une égalité ou une inégalité en $x$, et qu'ensuite on leur demande d'en déduire telle égalité ou telle inégalité pour laquelle il faut simplement remplacer $x$ par une expression particulière. Ils sont alors incapable de voir que les structures sont identiques.