Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour Borassus, bonjour tout le monde,

Ce que je voulais dire, c’est que si on demande le nombre de solutions entières de 1 à 50, on en trouve 1855, si on demande de 26 à 75 il n’en reste que 346 et de 51 à 100 il n’en reste plus du tout. D’où mon impression de raréfaction au fur et à mesure qu’un intervalle fixe glisse vers les grands nombres.

Au moment où je découvre cette histoire de facteur, je comprends qu’il est alors possible de trouver des solutions entières aussi loin qu'on aille non plus en explorant, mais en multipliant. L’infini à la portée de tous.

Et quand je m’aperçois plus tard qu’il est également possible d’énumérer sans fin les solutions entières quand $b$ et $d$ égalent zéro, je ressens la même chose, il n’y a plus de limites aux solutions, le vertige de l'infini, tout simplement.

Bonsoir Ernst, bonsoir Jean-Louis (content de retrouver tes interventions, sans doute trop rares), bonsoir à ceux qui viennent nous rendre visite ce soir,

Je rejoins tout à fait Jean-Louis : la curiosité ne permet pas seulement d'observer, mais permet, surtout, de comprendre et d'apprendre, et donc d'élargir notre connaissance du monde.

Je lisais hier dans l'Express une interview de l'anthropologue Ludovic Slimak expliquant dans son livre "Sapiens nu : le premier âge du rêve (Odile Jacob)" qu'il y a 70 000 - 50 000 ans Sapiens s'est mis à penser autrement.
Je cite l'article :

Sans doute la curiosité a eu une grande part dans cette évolution : qu'y a-t-il derrière cette montage ? ou cette mer ? pourquoi se produit tel phénomène que j'observe ? pourquoi telle amélioration technique produit tel effet ? — je rappelle à ce propos que la thermodynamique est née de la nécessité de comprendre les principes de fonctionnement de la machine à vapeur, et donc d'en optimiser son utilisation — et si j'essayais ceci ou cela ?

Ce n'est bien sûr pas la curiosité qui crée la conviction, mais bien la concordance entre la théorie et la réalité. (Einstein n'a commencé à être cru qu'à partir du moment où on a pu effectivement observer la déviation de la lumière d'étoiles visuellement proches du Soleil.)
Mais pour qu'une théorie puisse se mettre en place, il faut qu'ait préalablement joué le puissant moteur qu'est la curiosité. Comme je le rappelle dans ma signature, « Pourquoi ? » est sans doute le principal moteur de la connaissance.

Ernst, je n'ai pas bien compris ce que tu mentionnes

Bonjour tout le monde,

Le problème de la curiosité, c’est qu’une conviction n’est pas une certitude. Ici par exemple j’ai pensé, pour aller deux fois plus vite, n’explorer que les $b$ pairs puisqu’il n’y a pas de solutions avec $b$ impair. Sauf que sans l’avoir prouvé, c’était risqué, au delà de certaines valeurs il pouvait peut-être en apparaître un, donc je n’ai pas fait.

La puissance de la théorie, c’est cette capacité de montrer ce qu’on peut faire sans risque.

L’autre aspect fascinant ici, c’est celui de l’infini. Au départ je remarque une concentration des solutions autour de zéro et donc une raréfaction avec l’éloignement. Je me demande ce que ça donne avec des valeurs de plus en plus grandes, mais c’est hélas hors de portée de l’exploration systématique. Au moment où je découvre la possibilité d’un facteur multiplicatif j'ai ma réponse : j’obtiens à la fois un infini non seulement en valeurs entières, mais aussi en valeurs réelles, même chose d'ailleurs quand je découvre que lorsque $b = 0$ et $d = 0$, alors $a$ et $c$ sont solutions quelles que soient leurs valeurs respectives.

(en l'absence de toute preuve théorique, ce n'est une fois de plus qu'une observation)

Bonjour à tous,

Combien manquent à l'enseignement, et pas seulement des maths, la curiosité, la découverte, l'étonnement, l'émerveillement, les interrogations passant de nébuleuses à résolues, la recherche de nouvelles voies, et toute la théâtralisation qui va avec !

Bonsoir Borassus, bonsoir tout le monde,

Ah, content que ça te plaise ! Pour moi le plaisir des maths, c’est exactement celui-là, découvrir des structures, s’émerveiller de celles-ci, et essayer de les comprendre. Je parlais des triangles pythagoriciens, j’aurais pu parler aussi des fractales, de la conjecture de Syracuse, du chaos et de la constante de Feigenbaum, ou tout simplement des nombres premiers, de tous ces tâtonnements qui traduisent une fascination.

Ah oui, > le code ici <, au cas où j’aurais loupé quelque chose et que la logique du programme passe à côté de certaines solutions. Normalement il teste tout, donc il n’y a pas de raison, mais allez savoir…

(suffit de changer le .txt en .html pour que n'importe quel navigateur l'exécute sans le formatage de Google Sites)

Hello Borassus,

Allez hop, une page qui permet de visualiser directement les solutions obtenues par des paramètres variant dans des plages distinctes.

C’est instructif de voir des structures qui ne sont pas du tout intuitives au niveau algébrique. Par exemple si on annule $b$ (min = max = 0), alors $d$ s’annule aussi et absolument tout le reste est solution ! Par contre si on annule $d$ ce n'est pas réciproque, il y a des solutions supplémentaires avec certaines valeurs de $b$ différentes de zéro, c’est fou.

Bonsoir,

Bon, je vais essayer de résumer ce que j’ai compris.

Au départ, tu considères un polynôme de la forme $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$ et tu cherches les conditions d’une symétrie. Après diverses considérations, tu détermines que les paramètres doivent satisfaire l’équation $b^{3}-4abc+8a^{2}d=0$. Tu souhaites des valeurs entières pour les paramètres, et $a$ différent de zéro pour ne pas réduire le polynôme de départ au degré trois.

J’ai été surpris de constater que lorsqu’une solution était trouvée, elle pouvait être multipliée par un facteur quelconque et rester valide, ce qui permet déjà de ne tester que la moitié des possibilités, la multiplication par -1 donnant l’autre moitié, et ensuite d’éliminer toutes les solutions qui ne sont que de simples multiples.

Voici ce qu’il reste :

Un mot sur les assistants numériques. Comme ils ont tendance à sortir un peu n’importe quoi, il faut croiser les résultats et les mettre devant les erreurs pour les voir améliorer leurs propositions, sans jamais être sûr du résultat final. Ici ils ont fini par tous proposer 89 solutions, mais est-ce un biais que j’ai induit, mystère...