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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- bridgslam
- 23-01-2024 13:17:29
Bonjour,
Bonjour,
On montre que B n'est pas un filtre en montrant qu'il ne satisfait pas la condition de fermeture par intersection.
Voici une autre façon de montrer que B n'est pas un filtre. Soit I un ensemble de 2 éléments, x et y. Soit C = {x}. C' est une partie de P_f(I) qui ne contient pas B({y}). Donc, B ne satisfait pas la condition de fermeture par sup.
En conclusion, B n'est pas un filtre en général.
Pas d'accord, il s'agit de la fermeture par contenance qui n'est pas vérifiée, pas par intersection. Vous reprenez finalement ce que j'ai déjà fait.
Et pour la suite, il n'est pas question de fermeture par sup avec les filtres.
Il faut 3 éléments dans I au moins pour trouver une contradiction ( ou idem 3 éléments non comparables si on transpose sur un ordre réticulé).
A.
- ValérienK
- 23-01-2024 13:03:37
Bonjour,
Votre raisonnement est correct.
On montre que B n'est pas un filtre en montrant qu'il ne satisfait pas la condition de fermeture par intersection. En effet, soit I un ensemble de 3 éléments distincts, x, y et z. Soit C = B({x}) ∪ {y}. C est une partie de P_f(I) qui contient B({x}), donc si C appartient à B, il existerait K ∈ P_f(I) tel que C = B(K). En particulier, {x} ∩ {y} = ∅ contiendrait K, et ainsi C = B(∅) = P_f(I). Mais alors {z} ∈ C, ce qui est contradictoire avec la définition de C.
Ainsi, B n'est pas un filtre.
Voici une autre façon de montrer que B n'est pas un filtre. Soit I un ensemble de 2 éléments, x et y. Soit C = {x}. C' est une partie de P_f(I) qui ne contient pas B({y}). Donc, B ne satisfait pas la condition de fermeture par sup.
En conclusion, B n'est pas un filtre en général.
- bridgslam
- 21-01-2024 15:58:30
Bonjour,
OK finalement la raison intrinsèque est assez voisine. Dans mon allocution E est l'ensemble des parties finies , l'ordre réticulé étant simplement l'inclusion.
Merci beaucoup Eust_4che.
Bon A-M
alain
- Eust_4che
- 21-01-2024 15:33:50
Bonjour Bridgslam,
Le résultat est correcte. En fait, on peut généraliser le raisonnement de la façon suivante. Soit $(E, \leq)$ un ensemble ordonné réticulé possédant un plus petit élément $\alpha$, et soit $x, y, z$ trois éléments qui ne sont pas comparables, tels que $\inf(x, y) = \inf(y, z) = \inf(z,x) = \alpha$. Alors l'ensemble $\mathfrak{B}$ des sections finissantes $[u, \rightarrow [$, $u$ parcourant $E$, forme la base d'un filtre $\mathfrak{F}$ sur $E$ et n'est pas un filtre.
En effet, $[x, \rightarrow[ \cup \{ y \}$ appartient à $\mathfrak{F}$. Supposons qu'il existe $v \in E$ tel que $[x, \rightarrow[ \cup \{ y \} = [v, \rightarrow [$. Alors $x, y \geq v$, donc $\inf(x, y) = \alpha \geq v$. Comme, par hypothèse, $\alpha$ est le plus petit élément, on $v = \alpha$, d'où
$$[x, \rightarrow[ \cup \{ y \} = [v, \rightarrow [ = E$$
Aussitôt $z = y$ ou $z \geq x$, ce qui est contradictoire, puisqu'on a supposé $z, x, y$ non comparables.
Plus généralement, la base de filtre formée des sections finissantes sur un ensemble ordonné $(E, \leq)$ filtrant, n'est pas un filtre dès que $E$ possède deux éléments non comparables.
E
- bridgslam
- 21-01-2024 11:26:11
Bonjour,
Je ne sais pas si ce petit raisonnement tient la route.
Si I est un ensemble , en notant $\mathfrak{P}_f $ l'ensemble des parties finies de I, et $\mathfrak{B} = \{ B_L; L \in \mathfrak{P}_f \}$
avec $B_L = \{J \in \mathfrak{P}_f ; L \subset J \}$, alors $\mathfrak{B}$ est clairement une base de filtre sur $\mathfrak{P}_f $.
J'ai voulu montrer qu'en général (notamment si I a au moins 3 éléments) ce n'est pas un filtre, même si c'est relativement intuitif.
Soient x, y z 3 éléments distincts dans I, je considère l'élément $B_{\{x\}}$ de $\mathfrak{B}$.
Alors $C = B_{\{x\}} \cup \{\{y\}\}$ est une partie de $\mathfrak{P}_f $ contenant l'élément $B_{\{x\}}$ de $\mathfrak{B} $.
Si C appartenait à $\mathfrak{B} $, il existerait $K \in \mathfrak{P}_f $ tel que $C = B_K$.
En particulier $\{x\} \cap \{y\} = \emptyset $ contiendrait K, et ainsi $C = B_{\emptyset} = \mathfrak{P}_f $.
Alors $\{z\} \in C$ ce qui est contradictoire avec la définition de C.
Comme ça devient un peu abstrait je crains de m'être royalement planté.
A.