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bridgslam
31-12-2023 17:28:11

Bonjour,

De rien: Michel et vous avez fait l'essentiel... et je suis venu après la bataille.

Bonne soirée
A.

Ossekour
31-12-2023 16:31:15

Bonjour,

Merci de votre aide à tous les deux, le résultat est désormais beaucoup plus clair.

Bonnes fêtes

bridgslam
31-12-2023 16:29:29

Bonjour,

Pour moi Ker( q)  étant de dimension finie non nulle p si on prend $f_{\lambda}$ dont la restriction sur $vect( e_i), i =2,...p$ est l'identité et qui est l'homothétie de rapport $\lambda$ non nul sur $Vect(e_1) $ alors $det (f_{\lambda} ) = \lambda$ .

A.

Ossekour
31-12-2023 16:06:04

Je crois avoir compris grâce à vos indications : tout [tex]u \in O(q)[/tex] peut être écrit : [tex]u=i(k)s(v)[/tex] avec [tex]k \in \mbox{Ker}(\pi)[/tex] et [tex]v \in GL(\mbox{Ker}(q))[/tex], et [tex]i=\mbox{Id}_{Ker(\pi)}[/tex] et [tex]s=\mbox{Id}_{GL(Ker(q))}[/tex] ?

Soit [tex]u \in O(q)[/tex]. On a aussi l'écriture [tex]u=i(k)s(v)[/tex] avec [tex]k \in \mbox{Ker}(\pi)[/tex] et [tex]v \in GL(\mbox{Ker}(q))[/tex]. En appliquant le déterminant, on obtient : [tex]\mbox{det}(u)=\mbox{det}(k)\mbox{det}(v)[/tex] puisque [tex]\mbox{det}(s(v))=\mbox{det}(v)[/tex] car [tex]s[/tex] est l'identité sur [tex]\mbox{Ker}(q)[/tex].
De plus, [tex]\mbox{det}(v) \in \mathbb{K}^{\star}[/tex] puisque [tex]v[/tex] est inversible dans [tex]\mbox{Ker}(q)[/tex]. Enfin, [tex]k \in \mbox{Ker}(\pi)[/tex] signifie que [tex]k=\mbox{Id}_{Ker(q)}[/tex], et donc [tex]\mbox{det}(k)=1[/tex].

On trouve finalement [tex] \mbox{det}(u)=\mbox{det}(v) \in \mathbb{K}^{\star} [/tex].


On se ramène donc à montrer que [tex]\mbox{det} : GL(\mbox{Ker}(q)) \rightarrow \mathbb{K}^{\star}[/tex] est surjective. Pouvez-vous me confirmer que c'est immédiat parce que [tex]\mbox{Ker}(q) \neq \{ 0_E \}[/tex] puisque [tex]q[/tex] est supposée dégénérée ou il y a encore des choses à montrer ?

Michel Coste
31-12-2023 12:55:15

Pas de $\mathrm{GL}(\ker(q))$, mais de son image dans $G$ par la section $s$ que tu as construite à la question 3.
Si $v\in \mathrm{GL}(\ker(q))$, comment se comparent $\det(v)$ et $\det(s(v))$ ?

Ossekour
31-12-2023 09:26:21

Bonjour,

Merci pour votre réponse. Justement, je me demande dans quel sens je dois utiliser cette construction (je n'ai jamais vu une telle méthode à l'œuvre) ? Est-ce que le fait que [tex]O(q)[/tex] est produit semi-direct interne de [tex]i(Ker(\pi))[/tex] et [tex]s(GL(Ker(q))[/tex] m'autorise à écrire tout [tex]u \in O(q)[/tex] comme la composée d'un élément de [tex]Ker(\pi)[/tex] et [tex]GL(Ker(q)[/tex] ?

Merci.

Michel Coste
30-12-2023 17:34:08

Bonjour,
Tu peux utiliser la construction que tu as faite pour la question 3.

Ossekour
29-12-2023 10:50:44

Bonjour à tous,

Je m'attaque à un livre sur les formes quadratiques en autodidacte (après être passé par la case MPSI-MP, puis école d'ingé en méca flu), et je n'arrive pas à trouver la dernière question de l'exercice. Pourriez-vous s'il vous plaît m'aider ?

Voici l'énoncé :
Soit [tex]\mathbb{K}[/tex] un corps de caractéristique différente de 2, et soit [tex]E[/tex] un [tex]\mathbb{K}[/tex]-espace vectoriel de dimension finie. Soit [tex]q[/tex] une forme quadratique sur [tex]E[/tex]. On note [tex]F[/tex] un supplémentaire de [tex]Ker(q)[/tex] dans [tex]E[/tex] (la notion d'orthogonal n'a pas été encore introduite).
1. Montrer que [tex]Ker(q)[/tex] est stable par [tex]u \in O(q)[/tex] où [tex]O(q)[/tex] désigne l'ensemble des automorphismes orthogonaux de [tex]E[/tex].
2. Soit [tex]\pi : O(q) \rightarrow GL(Ker(q))[/tex] l'application définie par [tex]\pi(u)=u_{|Ker(q)}[/tex] (restriction de [tex]u[/tex] à [tex]Ker(q)[/tex]). Montrer que [tex]\pi[/tex] est un morphisme de groupes surjectif.
3. Préciser une section [tex]s[/tex] de [tex]\pi[/tex] et en déduire que [tex]O(q)[/tex] est isomorphe au produit semi-direct externe [tex]Ker(\pi) \rtimes GL(Ker(q))[/tex].
4. Montrer que, si [tex]q[/tex] est dégénérée, alors [tex]\mbox{det} : O(q) \rightarrow \mathbb{K}^{\star}[/tex] est surjective.

1. C'est une simple vérification.
2. Je me suis appuyé sur la décomposition unique dans [tex]E=\mbox{Ker}(q) \oplus F[/tex] pour poser, pour tout [tex]v \in GL(Ker(q))[/tex], l'application [tex]u : x=x_q+x_f \mapsto v(x_q) \mbox{ si } x \in \mbox{Ker}(q), x_f \mbox{ sinon. }[/tex], de sorte que [tex]v=\pi(u)[/tex], et [tex]u \in O(q)[/tex] ce qui montre la surjectivité.
3. On est en présence d'une suite courte scindée de groupes : [tex]\mbox{Ker}(\pi) \hookrightarrow O(q) \twoheadrightarrow GL(\mbox{Ker}(q))[/tex], donc par théorème, [tex]O(q)[/tex] est produit semi-direct interne de [tex]i(\mbox{Ker}(\pi))[/tex] par [tex]s(\mbox{GL}(\mbox{Ker}(q))[/tex] où [tex]i[/tex] est l'injection canonique [tex]\mbox{Ker}(\pi) \hookrightarrow O(q)[/tex] et [tex]s=\mbox{Id}_{Ker(q)}[/tex], et [tex]O(q)[/tex] est isomorphe au produit semi-direct externe [tex]Ker(\pi) \rtimes GL(Ker(q))[/tex].

Pour la question 4, je bloque. J'ai compris ce que je dois montrer : pour tout [tex]x \in \mathbb{K}^{\star}[/tex], on peut construire [tex]u \in O(q)[/tex] tel que [tex]\mbox{det}(u)=x[/tex]. J'imagine qu'il faut utiliser la question 3 et se ramener au produit semi-direct externe, mais je n'ai jamais vu une telle méthode à l'œuvre. Enfin, comme le résultat est faux dans le cas où [tex]q[/tex] est non dégénérée : [tex]\forall u \in O(q), \mbox{det}(u) = \pm 1[/tex], il faut utiliser le fait que [tex]q[/tex] est dégénérée, c'est-à-dire l'existence de [tex]v \in E \backslash \{ 0_E \}, \forall y \in E, b(v,y)=0[/tex] où [tex]b[/tex] est la forme polaire de [tex]q[/tex]. J'ai aussi essayé de travailler avec des réflexions orthogonales (d'un espace quadratique), en vain. Des idées et/ou conseils pour me débloquer ?

Merci pour votre attention, et bonne journée :)

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