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Bonjour,

Bien guidé, sous forme d'exercice, il n'est pas bien difficile de montrer qu'un espace topologique X à base dénombrable d'ouverts est réunion disjointe d'un fermé sans points isolés et d'une partie (au plus) dénombrable: il suffit d'écrire les choses sans se planter, surtout sur un plan logique en maniant les quantificateurs.

Le théorème est cependant parfois présenté avec X séparé en plus dans l'hypothèse.
S'agit-il d'une condition supplémentaire afin que la décomposition soit unique ?
Le raisonnement en soi étant valable sauf erreur sans séparation supposée pour obtenir UNE décomposition, je vois mal sinon en quoi cette hypothèse supplémentaire peut jouer ( si elle joue ...) .

A noter d'ailleurs une variante du théorème: un espace topologique est réunion disjointe unique d'un sous-espace clairsemé et d'un fermé sans point isolé (dans la topologie induite).

Bon dimanche

Alain