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bridgslam
07-11-2023 00:33:47

Bonsoir Roro,

Ok pour voir que A+B est un majorant.
Ensuite  cela n'induit pas l'existence de S du tout.

Soit X un majorant.
Comme $a_i + b_j $ est inférieur à X pour tout i,j,
On a donc $a_i $ majoré par $X-b_j$ donc idem pour A.
Ainsi $b_j $ est majoré par X-A, donc B aussi.
Donc A+B est inférieur à X , et le sup est bien A+B.

L'énoncé ne spécifiant pas que l'ordre soit total, on ne pouvait pas intercaler pour dépasser des minorants stricts respectifs de A et de B, démarche plus directe si on était dans $\mathbb{R}$,
Ou tout groupe tot. ordonné .


A.

Roro
06-11-2023 23:12:07

Bonsoir,

Je me lance dans une preuve... en espérant ne pas m'être fait trop piéger (en tout cas, ce sera une façon de voir où sont les pièges) !

▼test

Puisque $A=\sup_{i\in I} a_i$ alors pour tout $i\in I$ on a $a_i\leq A$.
Puisque $B=\sup_{j\in J} b_j$ alors pour tout $j\in J$ on a $b_j\leq B$.
On en déduit que pour tout $(i,j)\in I\times J$ on a $a_i+b_j\leq A+B$, c'est-à-dire que la borne supérieure recherchée existe, je la note $S$, et qu'elle vérifie $S \leq A+B$.

Considérons un élément $C$ du groupe tel que $C < A+B$ (la notation $x<y$ signifie ici $x\leq y$ et $x\neq y$). On a donc $C-A < B$ (je note $-A$ l'opposé de $A$ puisque que le sujet de bridgslam semble utiliser la notation $+$ pour la loi du groupe). Par définition de la borne supérieure $B$, j'en déduis qu'il existe $j_0\in J$ tel que $C-A < b_{j_0}$.
On a alors $C-b_{j_0}<A$ et par définition de la borne supérieure $A$, il existe $i_0\in I$ tel que $C < a_{i_0}+b_{j_0}$.

On a donc montré que pour tout $C$ tel que $C < A+B$, il existe $(i_0,j_0)\in I\times J$ tel que $C < a_{i_0}+b_{j_0}$, donc que $S\geq A+B$

Roro.

bridgslam
06-11-2023 17:33:34

Bonjour,

En lisant des hypothèses sans lunettes, ou avec de mauvaises, on peut fournir rapidement des preuves complètement fausses:

Soit G un groupe ordonné (disons commutatif pour simplifier) et $(a_i)_{i \in I} $, $(b_j)_{j \in J} $ deux familles d'éléments de G telles que
$A = sup (a_i)_{i \in I} $ et $ B = sup (b_j)_{j \in J} $ existent, montrer que $ sup ( a_i + b_j)_{(i,j) \in I \times J} $ existe et le déterminer.

▼éviter l'écueil

L'habitude qu'on a de faire (souvent) comme si G était le groupe des réels muni de l'addition est une chausse-trappe...

A.

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