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yoshi · 14-10-2023 12:42:01

Bonjour JLB,

A la limite, quand j'avais besoin de calculer une racine carrée, j'y allais à la méthode "essai - erreur" avec multiplications posées successives, qui permettait un encadrement de plus en plus précis : ça me semblait, et me semble toujours, plus simple et guère plus long !

Je ne vois pas très bien ce que recouvre ta dénomination "essai-erreur", ça m'a quand mêle l'air d'être voisin d'une méthode par dichotomie...
Je suis prêt à la programmer et à faire la comparaison puisque tu dis ce procédé être plus simple et guère plus long...
Plus simple ? Quand tu te seras entraîné avec une dizaine d'extractions, tu jugeras la méthode probablement moins compliquée qu'elle n'en a l'air en a l'air... Mais pourquoi pas...
Par contre, si c'est bien ce que je crois, guère plus long, j'en doute... Mais je peux me tromper !

"Ma" méthode à la main, je l'avais programmée, il y a près de quarante ans....
Un de mes copains, libraire, un jour m'avait appelé en me demandant un service : il avait dans sa boutique un client qui souhaitait avoir le nombre d'or avec beaucoup de décimales...
Je lui réponds qu'avec ma TI 66, je devrais pouvoir lui en fournir une bonne douzaine...
Son client me fit transmettre qu'il en avait déjà 20...
Alors, j'ai voulu savoir combien de chiffres recouvrait l'adverbe "beaucoup"...
Réponse : une centaine serait bien...
Pourquoi autant ? Qu'est-ce qu'il pouvait bien faire de ses 100 décimales ? Je ne l'ai jamais su...
Et puis après tout, c'était un joli défi pour un programmeur débutant !
Alors, je m'étais attelé au problème avec mon AMSTRAD CPC 6128 (au processeur Z80 cadencé à 4 MHz) et son "Basic Locomotive"...
Pas simple : 8 décimales exactes, c'était déjà beaucoup pour lui...
Alors, j'avais dû récrire les quatre opérations en répartissant les chiffres dans des tableaux pour avoir d'abord $\sqrt 5$ puis le nombre d'or...
Ça avait fonctionné (pas tout de suite, évidemment...) : 100 décimales en 1 h !
A l'époque, je n'avais jamais entendu parler de la méthode de Heron et je ne savais pas ce qu'était l'Assembleur (aujourd'hui je sais, mais ne programme pas avec).
La variante Python proposée est dérivée du calcul à la main, mais j'ai usé d'améliorations de recherche du fameux nombre "point" et la vitesse reste raisonnable malgré l'utilisation de chaînes de caractères.
Python a aussi cet avantage (et j'en ai profité) que la taille des entiers n'est limitée que par la quantité de RAM de la machine hôte...

@+

[EDIT]

Zebulor a écrit :

@yoshi : à te lire je crois comprendre que tu accordes beaucoup d'importance à la géométrie..

Je confesse que c'est vrai... Je n'ai pas épargné mes élèves et j'étais exigeant !
Je considérais - à tort ou a raison - que la Géométrie pure était le critère qui me permettait de savoir si un élève pouvait espérer avoir un avenir en S...
Je le pense d'ailleurs toujours...
L'algèbre de Collège, ça restait du calcul "bête et méchant", à part peut-être la résolution de problèmes par mise en équation(s).
D'ailleurs, je serais curieux de voir ce que recouvre aujourd'hui la "résolution de problèmes par mise en équation(s)" (qui figure toujours dans le prog de 3e...
Le pire, c'étaient les problèmes d'Arithmétique à base de fractions : beaucoup en arrivaient à préférer les problèmes cité ci-dessus...

Zebulor · 14-10-2023 11:57:22

Bonjour !
@yoshi : je ne l'ai pas celui là mais je l'ai entendu... à te lire je crois comprendre que tu accordes beaucoup d'importance à la géométrie..
je me souviens très bien de mon prof de 1ere S (la lettre C étant devenue S) nous dire ceci : "CO plus CO donne à coco du comaco". Et d'ajouter : "je vous laisse imaginer la scène". Mais je crois que c'est assez connu...
Et c'est ce même prof qui nous avait parlé de la méthode de Horner qui m'avait marqué sans que je ne sache vraiment pourquoi.
Par ailleurs il se trouve que j'ai retrouvé son nom sur un logiciel de maths en ligne...Pur hasard ou homonyme ? en tout cas je sais qu'il s'intéressait à l'informatique...
Alors Soh Cah Toa : je viens de voir que c'est un procédé mnémotechnique qui permet de retenir facilement les relations trigonométriques dans le triangle rectangle...

Omhaf a écrit :

Bonjour yoshi et zebulor
on nous a toujours appris à être des procureurs et on nous a jamais raconté ou encouragé à comprendre l'esprit ou la philosophie de la loi qu'on appliquait

J'ai découvert qu'en fac de sciences il y a des cours d'épistémologie qui n'existaient pas il y a .. 20 ans ?

jelobreuil · 14-10-2023 11:55:20

Re-bonjour Yoshi,
Et merci d'avoir récupéré et ré-envoyé ton ancien message ! Je me doutais bien qu'il y était question d'utiliser l'identité (a+b)² = a²+2ab+b², mais comme je n'ai jamais vraiment eu besoin ou devoir d'appliquer cette méthode ...
A la limite, quand j'avais besoin de calculer une racine carrée, j'y allais à la méthode "essai - erreur" avec multiplications posées successives, qui permettait un encadrement de plus en plus précis : ça me semblait, et me semble toujours, plus simple et guère plus long !
Bien cordialement
Jean-Louis

yoshi · 14-10-2023 11:36:01

Bonjour à tous,

La méthode d'extraction à la main n'est pas très difficile, elle nous demandait simplement de e pas avoir peur de manipuler des nombres qui devenaient très vite considérés comme... "pas fréquentables" ;-)
Impensable aujourd'hui, o tempora, o mores...
Je l'ai retrouvée quelque part dans Bibmath (je l'avais déjà publiée par le passé) et la revoilà :
La revoilà (je l'ai déjà postée il y a quelques années), pas à pas :

Cherchons la racine de 55225.
On pose :
5 52 25 |
|-----
|
comme une division, mais sans diviseur : on sépare par tranches de 2 chiffres en partant des unités et on commence tout à gauche.
Question n° 1: quel est le plus grand carré parfait contenu dans 5 ?
Réponse : c'est 4 dont la racine carrée est 2.
Et on complète :
* On place 2 dans la zone "diviseur" qui devient la zone racine carrée,
* Au dessous de la racine (en zone "quotient"), on écrit le produit,
* Dans la zone reste, on écrit le reste 5 - 2 x 2 = 1
5 52 25 |2
1 |---------------------
|2 x 2 = 4
|----------------
|
On abaisse les deux chiffres suivants et on double la racine provisoire que l'on pose à droite chez les "quotients"...
On met un point à côté (pour un nombre à 1 chiffre x à trouver) de 4, puis on écrit x puis le multiplicateur $\cdot$ (le même nombre à 1 chiffre). Ci-dessous j'ai mis les points.
On cherche donc en fait le nombre x tel que $\overline{4\cdot} \times \cdot \leqslant 152$ (avec $\overline{4\cdot}$ compris entre 40 et 49) :
5 52 25 |2
1 52 |-----
|2 x 2 = 4
|----------------
|4. x . =
Question n°2. Quel est donc ce nombre "point" ?
Réponse : c'est 3.
En effet, 44 x 4 = 176 trop grand, alors que 43 x 3 = 129.
On complète : 43 x 3 = 129, on met met donc 3 à la suite du 2 (zone racine) et le reste 159 - 129 = 23 en dessous de 152 :
5 52 25 |2
1 52 |-----
23 |2 x 2 = 4
|----------------
|43 x 3 = 129
On abaisse les deux chiffres suivants (ou on met une virgule et abaisse deux zéros, si on est déjà arrivé aux unités), on double la racine et on recommence :
5 52 25 |23
1 52 |-----
23 25 |2 x 2 = 4
|----------------
|43 x 3 = 129
|-----------------
|46. x . =
Là encore on veut $\cdot$ tel que $\overline{46\cdot} \times \cdot \leqslant 2325$, avec $\overline{46\cdot}$ compris entre 460 et 469.
Ici, c'est 5... :
5 52 25 |235
1 52 |-----
23 25 |2 x 2 = 4
0 00 |----------------
|43 x 3 = 129
|-----------------
|465 x 5 = 2325
Donc [tex]\sqrt{55225}\,=\,235[/tex]
Mais les nombres deviennent vite très très longs et les calculs très fastidieux et "impossibles".

J'avais Pythonisé cette méthode :

#!/usr/bin/env python

# -*- coding: UTF-8 -*-

# Version 3

from time import time

def rac5(prc):

    n,reste,rac,md,finbcl=5,5,0,0,prc+1

    for j in range(finbcl):

        md=20*rac

        if (md+5)*5>reste:

            i=0

        else:

            i=5

        while (md+i)*i<=reste:

            i+=1

        i-=1

        rac=rac*10+i

        md+=i

        reste=(reste-md*i)*100

    return rac

tp_d=time()

prc=5000

racpl=(rac5(prc)+10**prc)//2

phi=str(racpl)[0]+'.'+str(racpl)[-prc:]

tp_a=time()

print ("phi =",phi)

print (tp_a-tp_d,'s')

La bonne vieille méthode inconnue des jeunes profs...
Je démarre avec le nombre 5, un reste de 5, un multiplicande (md) de 0 un indice de fin de boucle supérieur de 1 à la précision.

Et je fabrique ça (sans la virgule que je gère à la fin) :

 5             | 2236
 100           |------------------------------
 01600         | 2 x 2 = 4
  027100       |------------------
   0030400     | 42 x 2 = 84
     03604     | -----------------
               | 443 x 3 =1329
               |-----------------
               | 4466 x 6 = 26796

C'est très rapide, mais la méthode de Héron d'Alexandrie (adaptable - et que j'ai adaptée pour le calcul de la racine cubique suite à une demande d'aide)) l'est encore plus, malgré l'appel à l'incontournable module decimal qui fait les calcul avec des fractions continuées (mais ralentit sensiblement ces calculs) :

#!/usr/bin/env python

# coding: utf-8 -*-

from time import time

from decimal import Decimal as D,getcontext

getcontext().prec=50001

def rac(n):

    u,u0,i=D(2),D(1),0

    while not u0==u:

        u0=u

        u=(u*u+n)/(u*D(2))

        i+=1

    return u,i

debut=time()

radicande =5

u,i=rac(radicande)

print (u)

print("Nombre d'Itérations :", i)

print("effectuées en :",time()-debut,"s")

Sortie (sans l'affichage de la racine. Dans l'IDLE de Python, configuré à 100 caractères par ligne : 501 lignes, que je vous ai épargnées...)

Nombre d'Itérations : 17
effectuées en : 0.94 s

J'ai aussi adapté cette méthode au calcul de la racine carrée entière d'un nombre entier naturel :

#!/usr/bin/env python

# coding: utf-8 -*-

from math import sqrt

from time import time

def racine_entière(n):

    """ Inspiré de la méthode de Heron """  

    n_str=str(n)

    ln_str=len(n_str)

    if ln_str<12:     

        return int(sqrt(n))   

    ln_utile=(ln_str-10)//2

    n_coupe =n//10**(ln_str-10)

    uu=int(sqrt(n_coupe))

    u= int(uu*10**ln_utile)

    u0=1

    while not u0==u:

        u0=u

        u=(u**2+n)//(2*u)

    return u

début =time()

n=2345678998765432102568712345678997845612321321458974232569874315601451123456789113245678987654321325

rac_ent= racine_entière(n)

print ('Racine entière = ',rac_ent

print('Durée :', time()-début),'s'

Le nombre ci-dessus est composé de 100 chiffres et sa racine entière obtenue en sortie est :

Racine entière = 48432210343586757495857120903238447995010125310952
Durée : 0.012000799179077148 s

Vérification :

rac_ent**2 :

2345678998765432102568712345678997845612321321458879211337912676818137016804502614404401874691146304

print (rac_ent**2<n<(rac_ent+1)**2)

True

Bien plus tard, j'ai adapté le calcul de la racine carrée (avec décimales) méthode Héron au calcul de la racine cubique...

@+

[EDIT] Tiens, Zebulor : as-tu ça dans ta collection : Mon cacatoès s'appelle SohCahToa ?

jelobreuil · 14-10-2023 10:18:12

Bonjour à tous,
Pour ma part, je me rappelle fort bien un détail de ma scolarité concernant justement l'extraction "à la main" de racines carrées ...
C'était au programme de la classe de troisième (1965-66), et j'ai été absent (je ne sais plus pourquoi, sans doute une maladie quelconque ..) le jour du cours sur cette méthode ... ce qui fait que je n'ai jamais su comment faire,! Et même maintenant, je ne connais pas la méthode à suivre, n'ayant eu aucune motivation pour m'y intéresser ... Heureusement, on n'en avait pas vraiment besoin, en physique, même en seconde C et en première C ... Et finalement, ce n'est qu'en terminale C que j'ai réussi à extraire des racines carrées ... à l'aide des tables de logarithmes !!!
Bien cordialement, JLB

Zebulor · 14-10-2023 09:45:37

Bonjour Omhaf et les autres,
ca me rappelle un prof de maths de 6e a qui un de mes camarades avait demandé : "mais d'où vient ce nombre $\pi$ dans le périmètre du cercle ?". Ce à quoi il avait répondu qu'il n'en savait rien...

Bernard-maths · 14-10-2023 08:59:41

Bonjour les penseurs ...

Existe-t-il quelque autre chose d'immatériel en dehors d'un esprit pensant que les mathématiques, ou ce qui en dérive ?

Et paf! Cogitez ...

B-m

Omhaf · 14-10-2023 08:47:20

Bonjour yoshi et zebulor

Je me suis toujours dis que derrière chaque vérité ou évidence mathématique, il y'a une sagesse universelle.
Oui ! pour emprunter l'exemple de la justice dans notre sujet, on nous a toujours appris à être des procureurs et on nous a jamais raconté ou encouragé à comprendre l'esprit ou la philosophie de la loi qu'on appliquait
Je donnerais un autre exemple :
imaginons qu'on reçoive la visite d'aliens!
certainement ils seraient fort en math.
Connaissent ils Pi ? le théorème de Pythagore ? certainement mais à leur façon
Utulisent ils la système décimal ou binaire? . et s'ils navaient même pas de doigts pour en compter 10 ? et pourtant ils sont arrivés chez nous grâce aux maths
@plus

Zebulor · 13-10-2023 22:24:28

Re,
1958 ...alors 27 ans plus tard j étais en 3ème plus tard et cet professeur de maths ancien lieutenant dans l’armée nous avait invité à acheter un carnet dans lequel il y avait les sinus et cosinus des angles cris entre 0 et 90 degrés... toujours pas de calculatrice ..
Il m’a tres peu servi car un an plus tard nous avions tous une calculatrice TI57...
Bizarrement je ne me souviens pas des livres de maths que j’avais...sauf de quelques abc du bac éditions Nathan que je m’étais moi même procurés pour préparer un concours...
Intéressant de remonter dans ces années d’après guerre...
@+

yoshi · 13-10-2023 19:58:40

Ave,

D'accord, c'est plus clair maintenant...
J'avais mal interprété le mot "recette"...
Aucune objection alors pour des" moyens mnémotechniques" : cela représente une utilité comme soutien de la mémoire :
Que j'aime à faire connaître ce nombre utile aux sages ! Immortel Archimède ! Artiste, Ingénieur ! Pour moi ton problème eut de pareils avantages.
Ou encore :
les amis de mes amis sont mes amis
les amis de mes ennemis sont mes ennemis... etc.

Moi j'étais en 4e/3e avec les programmes de 1958 : on carburait avec les Lebossé&Hemery...
Je précise donc mon :
En tout cas, appliquer des recettes sur un problème de Géométrie, me paraît problématique ()...
au vu de ta remarque, en :
En tout cas, appliquer des recettes sur un problème de Géométrie pure, me paraît problématique ()...

En 4e, en arithmétique/algèbre j'avais appris (et je sais toujours faire) à calculer une racine carrée "à la main" (les calculettes n'existaient encore pas) : j'ai vu passer, avant ma retraite, nombre de jeunes profs et ils n'avaient jamais vu la méthode...

@+

Zebulor · 13-10-2023 19:22:57

re,

yoshi a écrit :

D'ailleurs qu'est-ce qu'une recette ?
Appliquer, par exemple, bêtement un savoir-faire de résolution d'une équation du 1er degré à une inconnue sans être capable de justifier le passage d'une ligne à l'autre ?

si c'est appliquer bêtement sans comprendre alors c 'est problématique. J'entends par "recette" un moyen mnémotechnique, par exemple comment savoir le signe de l'expression $ax+b$ suivant les valeurs de $x$.. Alors on nous disait : " à droite le même (sous entendu le même signe que le signe de $a$, à gauche l'autre" . Mais quand on comprend cette recette là, elle devient un automatisme. On pourrait multiplier les exemples...
Avec le recul je trouve que la place donnée à la géométrie au collège et surtout au lycée - grosso modo les années 80 pour ce qui me concerne - est plutôt modeste...
Une autre réflexion me vient : on aurait tendance à dissocier algèbre, analyse et géométrie alors que ces disciplines sont liées ...

yoshi · 13-10-2023 16:43:24

Bonjour,

Pour poursuivre le mini-débat engagé ici : https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=16393...
Très honnêtement, de la 6e à la 1ere de 1958 à 1964, avec le recul, je n'ai pas vraiment l'impression qu'on nous ait beaucoup demandé de comprendre ce qu'on faisait...
Je crois qu'on privilégiait le savoir-faire à la compréhension
On avait non des recettes mais des modus operandi, des briques de base qui se retrouvaient dans des pans de murs plus pros, lesquels composaient des édifices...
Ce qui nous sauvait c'est qu'on avait de la Géométrie à haute dose pour nous aider à réfléchir... ^_^
Quand je compare mon programme de Lycéen de 4e et celui d'aujourd'hui, il y un monde d'écart... Et je lui ai survécu.

Mais les explications venaient quand même plus tard et , j'en ressortais frustré : Pourquoi ne m'a-t-on pas expliqué cela il y a un an, deux ans ? Ça m'aurait bien facilité la tâche... !

D'ailleurs qu'est-ce qu'une recette ?
Appliquer, par exemple, bêtement un savoir-faire de résolution d'une équation du 1er degré à une inconnue sans être capable de justifier le passage d'une ligne à l'autre ?
Alors, oui, on peut faire sans :
j'ai écrit un petit programme Python qui résout des équations du 1er degré à une inconnue de la + simple à la (presque) plus compliquée :
il est capable de trouver la solution (quand elle existe) à, par exemple, $1+3(2x-1)-5(3-x)=-4x+7+(-3x+1)$
(Je voulais lui soumettre cette équation et afficher le détail des calculs qu'il donne : je ne le retrouve pas et ne me me souviens pas du nom donné... zut ! une pierre dans mon jardin... )
Si la solution existe et est unique, mon script la donne,
Si on tombe sur 0 = 0, mon script précise c'est toujours vrai
Et si 0=-1, la réponde donné est : Impossible, l'équation n'a pas de solution.
Je bute sur "la même et en couleurs", i.e quand j'ajoute des dénominateurs en plus des parenthèses : il va falloir que j'apprenne à me servir des "expressions régulières" parce qu'à ce stade je suis un peu noyé dans qui fait quoi...
Mon script est-il intelligent ?
Non ! On pourrait dire qu'il applique des "recettes de cuisine" et pourtant, il arrive au bout....
Mon script, applique strictement les instructions du script et arrive au bout, donc oui, on peut appliquer des recettes et arriver au bout...
Pour autant le faut-il ?
Certes c'est sécurisant, tant qu'on reste dans les "déjà vu"...
Cela dit, est-ce bien prudent ?
Je réponds 1. Non
et 2. Ce n'est pas souhaitable... On se retrouve à la merci du moindre grain de sable !

En tout cas, appliquer des recettes sur un problème de Géométrie, me paraît problématique sauf si les questions sont à "1 pas" comme :
Soit un triangle ABC tel que AB=AC. Quelle est sa nature ?
Mais sur un problème à 5 questions où chacune exige 3 à 4 pas sans indication de résolution, je demande à voir... D'ailleurs les exos de maths soumis à Chat GPT jusqu'à preuve du contraire étaient à base de calculs.
Que serait capable de faire cette IA face à un pb de Géométrie : j'en ai 2 ou 3 qui ne font pas "rire" (mais alors pas du tout !) les élèves de 3e !
Zebulor, tu as bien fini par dépasser ce stade puisque tu es là à répondre aux questions et probablement, entre autres, par goût des Maths...

@+

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