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bridgslam · 05-10-2023 18:18:51

Bonsoir

oui c'est bonnet blanc et blanc bonnet, et même transfinie dans le cas des ordinaux quelconques, mais vôtre preuve colle (à u près) les entiers directement dessus, globalement, en considérant les ensembles en blocs. Ca évite d'itérer et de numéroter les tranches, en servant du résultat déjà acquis des ensembles naturels tous isomorphes.

Alain

Michel Coste · 05-10-2023 15:28:29

Qui dit ordinal dit récurrence.

bridgslam · 05-10-2023 15:25:59

Bonjour,

Merci Michel.
J' exhibais une bijection par récurrence. C'est sans doute plus compact dit comme cela.

A.

Michel Coste · 05-10-2023 15:15:42

Bonjour,
La condition est clairement nécessaire.
Elle est suffisante :
Supposons la condition vérifiée. On définit un ordre $\prec$ sur $\mathbb N$ par $n\prec p$ si $u_n <u_p$ ou $(u_n=u_p \text{ et } n\leq p)$. C'est un ordre bien fondé et pour tout entier $p$ il n'existe qu'un nombre fini d'entiers $n$ tels que $n\prec p$. Le type d'ordre de $(\mathbb N,\prec)$ est donc l'ordinal $\omega$ et on a un unique isomorphisme $\varphi : (\mathbb N,\leq)\to (\mathbb N,\prec)$. La suite $u\circ \varphi$ est croissante.

bridgslam · 05-10-2023 14:36:12

Bonjour,

Si on considère une suite de réels u quelconque, il est parfois impossible de trouver une bijection $\phi : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} $ telle que
$u o \phi$ soit croissante ( toute suite qui n'a pas de minimum par exemple , mais aussi la suite (1 , 1/2, 2/3, 3/4, ....).
Peut-on affirmer qu'une CNS pour que ce soit vrai est : $\forall n \in \mathbb{N} \; \{ k: u_k \lt u_n \}$ est fini ?
Une preuve rigoureuse si c'est vrai?

Alain

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