Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,
je me dis que Tortue69  a peut être besoin qu'on détaille ceci pour l'écriture du numérateur de $p_{k+1}$:
${a^{k+1}-\prod_{i=1}^{k+1}(a-i)}
={a^{k+1}-\prod_{i=1}^{k}(a-i)(a-(k+1))}={a^{k+1}-a\prod_{i=1}^{k}(a-i)+(k+1)\prod_{i=1}^{k}(a-i)}$

Bon réveillon

re,
@Tortue69 : tu as multiplié des probabilités d'événements associés à des ensembles disjoints.
par exemple : au lancer d'un dé , c'est comme si tu calculais la probabilité de l événement : "le résultat est pair ET impair", ce qui n'a pas de sens.
Par contre la probabilité de l'événement : "le résultat est pair OU impair" a un sens, et c'est bien une addition de probabilités

Je prends la suite ici avec un quatrième individu 4.

Je ne vais pas détailler les différents cas du 4 par rapport à 1, 2 et 3 ... les branches sont documentées comme pour le 3 !

Finalement on trouve pour 4 individus un arbre qui a 15 branches ! Je te laisse deviner le nombre de branches pour 23 individus ... beaucoup trop ??? La méthode de l'arbre atteint souvent vite ses limites par manque "de place".

Pour finir cet exemple, regardons les probabilités. Sur chaque tronçon de branche nous avons écrit des probabilités. Pour connaître la probabilité en fin de branche, il faut multiplier les proba des différents tronçons ... toutes les probas ont le même dénominateur 365, sur 3 tronçons, cela donne (365)³. Dans la partie droite du tableau, j'ai écris au début le produit des 3 numérateurs des 3 tronçons, sans répéter le 365³ au dénominateur ... puis à droite le résultat du produit. Si on additionne tous ces résultats, on trouve 48 627 125 (au numérateur(, et d'autre part 365³ = 48 627 125 aussi, donc le rapport vaut 1 ! NORMAL, la somme des probas doit valoir 1.

Chaque branche décrit une situation en différenciant 1 de 2 de 3 et de 4 ... Mais si je cherche la proba d'avoir 2 individus sur les 4 qui sont nés un même jour, comment procéder ?

procédons de 2 manières : a) on regarde dans l'arbre ... b) On procède par calcul ...

a) On regarde bien quelles sont les branches où il y a 2 individus nés le même jour ... on trouve 6 lignes, correspondant aux valeurs 132 132, ce qui donne en tout 6 fois 132 132 = 792 792 cas. On divise par 48 627 125, et on trouve Proba(2 sur 4 nés même jour) = 1.63 %

b) On utilise le méthode esquissée par Michel Coste, et on se dit :

un individu est né un jour j, un deuxième aussi, donc proba 1/365 ; les 2 autres nés 2 autres jours différents, donc proba 364/365 * 363/365. Mais de combien de façons cela peut-il arriver ? Autant qu'il y a de façons de choisir 2 individus parmi 4 = combinaison de 2 parmi 4 = C₄² (en notation ancienne) = je crois (²₄) = 6 !

Donc en tout : Proba = 1/365 * 364/365 * 363/365 * 6 = 792 792 cas ! On retrouve ce qu'on a trouvé dans l'arbre ...

Ainsi la voie du calcul avec les coefficients binomiaux est plus générale ...

REPONSE à la question initiale de Tortue69 :

Si on veut calculer la proba d'avoir au moins 2 individus sur 23 qui sont nés le même jour, par le calcul il faut chercher Proba(2 sur 23) + Proba(3 sur 23) + Proba(4 sur 23) + ... + Proba(22 sur 23) + Proba(23 sur 23) ! Gros calcul, alors que l'événement contraire est Proba(1 sur 23) ... beaucoup plus simple !

Voilà cette présentation finie, elle fait au travers de cet exemple un rappel sur les méthodes vues avant le BAC.

Bernard-maths

Bonjour Tortue69,
Que fais tu comme calcul ?
Tu MULTIPLIES :
la probabilité que (l'élève) 2 ait même jour de naissance que 1,
par la probabilité que 3 ait même jour de naissance que 1 ou 2, sachant que ces jours sont différents,
par la probabilité que 4 ait même jour de naissance que 1 ou 2 ou 3, sachant que ces jours sont différents, etc.
Ça ne va pas du tout. Tu devrais  ADDITIONER
la probabilité que 2 ait même jour de naissance que 1,
la probabilité que 1,2 aient des jours de naissance différents et 3 même jour de naissance que l'un d'entre eux,
la probabilité que 1,2,3 aient des jours de naissance différents et 4 même jour de naissance que l'un d'entre eux, etc.
Autrement dit :
[tex]\dfrac{1}{365} + \dfrac{364}{365}\times \dfrac{2}{365} +\dfrac{364\times363}{365^2}\times\dfrac{3}{365} +\dfrac{364\times363\times\cdots\times 344}{365^{21}}\times\dfrac{22}{365}[/tex]

Bonjour à tous !

@ Zebulor !

Echappatoire non autorisée ! Sur 4 ans, dont un bissextile, il y a 1461 jours ... donc 1 chance sur 1461 de naitre un 29 février !

Alors tous les calculs basés sur 365 jours sont FAUX ! Mais pas loin de la vérité ...

@ Tortue du Rhône, beaucoup de digressions, mais as tu suivi en discussion #6 ? C'est rapide.

Sinon on peut continuer  à discuter ...

Bernard-maths

Bonjour à tous !

Histoire d'en remettre une couche ...

Dans un groupe de 365 personnes, quelle est la probabilité qu'aucune ne soit née le même jour ?

Pareil avec un groupe de 366 personnes ?

Quelle est la bonne réponse ?

Moi, j'ai pas encore cherché ...

Bernard-maths

Bonsoir,
Je me permet d'intervenir pour faire remarquer que $1/365\times 2/365\times...$ est une probabilité plus petite que $1/365$ qui est pourtant la probabilité que juste deux personnes dans la même salle aient la même date d'anniversaire.

En fait si j'ai bien compris tu fais une disjonction de cas : ou bien c'est lorsque le deuxième rentre qu'on a une date commune pour la première fois, ou bien quand le troisième rentre etc...
Dans ce cas la probabilité à calculer s'exprime plutôt comme une somme que comme un produit
Attention la somme obtenue sera sûrement de la forme :
$1/365 + (1-1/365)\times 2/365 + (1-1/365)\times (1-2/365)\times 3/365 + \dots$

cette expression est plus compliquée a priori car il y a une grosse somme et de gros produits...

Si tu n'utilises pas "pour la première fois" alors il faut faire très attention aux cas où il y a 3 ou plus personnes qui ont la même date d'anniversaire...

(mais de manière générale en proba quand on demande de calculer la proba d'un évènement, un bon réflexe est de regarder si l'évènement contraire n'aurait pas une proba plus facilement calculable).
Bonne soirée