Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Soit $u_n=(n-7)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+7)$.

Si on l'écrit modulo 7, on a $u_n\equiv n^3(n-2)(n-1)(n+1)(n+2) \, [\mathrm{mod}\, 7]$. Puisque $7$ est un nombre premier, on a alors $u_n\equiv 0 \, [\mathrm{mod}\, 7]$ si et seulement si
$$n\equiv 0 \, [\mathrm{mod}\, 7] \quad \text{ou} \quad n\equiv 2 \, [\mathrm{mod}\, 7] \quad \text{ou} \quad n\equiv 1 \, [\mathrm{mod}\, 7] \quad \text{ou} \quad n\equiv -1 \, [\mathrm{mod}\, 7]  \quad \text{ou} \quad n\equiv -2 \, [\mathrm{mod}\, 7],$$
ce qui revient à dire $n$ est égal à $7k$, $7k-5$, $7k-6$, $7k-1$ ou $7k-2$.

Roro.

Bonsoir yoshi (et tous ceux présents),

Merci pour ce calcul des  n ad hoc.

Effectivement, la calculatrice n'affiche pas les décimales pour n = 11.

Maintenant, il s'agit de définir le(s) critère(s) pour que l'expression soit divisible par 7.

Ou, plutôt, apparemment, les critères pour que l'expression ne soit pas divisible par 7, ce qui est le cas pour
n= 10 et n = 11,
n=17 et n = 18,
n = 24 et n = 25,
n = 31 et n= 32,
n= 38 et n = 39,
etc

A chaque fois, il s'agit de deux entiers consécutifs en partant de 10, l'écart entre le premier entier d'une paire avec le premier entier de la paire suivante étant de sept : 10 + 7 = 17 ; 17 + 7 = 24 ; 24 + 7 = 31 ; 31 + 7 = 38 ; 38 + 7 = 45 ; etc.

Mais, pour l'instant, je ne sais que remarquer cette particularité, mais ne saurai absolument pas l'expliquer.

PS : Ne trouvez-vous pas que la discussion a, du fait de ma première intervention, sensiblement dévié par rapport à son titre initial ?  :-)

PPSS : Pourquoi la discussion a-t-elle été épinglée ? Sur le coup je ne la trouvais plus, et ne l'ai vue en première ligne qu'au bout d'un moment.

La programmation de la suite sur ma calculatrice Numworks montre que les valeurs de $n$ pour lesquelles l'expression est visiblement divisible par 7 sont :
n = 5 ; n = 6 ; n= 8 ; n = 9 ; n = 11 ; n = 12 ; n = 13
(Au-delà, je ne sais pas car la calculatrice affiche $\dfrac {u_n} 7$ en notation scientifique.)

Pour $n = 10$, l'expression n'est pas divisible par 7.

Ah, c'est subtil ... ?

Etudis les cas : n terminé par 1, n terminé par 2, ... que font les différents facteurs ?

B-m

PS : à moins que je me sois planté ?

J'ai oublié mon raisonnement !

Bonjour tout le monde, et bonjour Bernard,

Je n'ai pas compris sur le coup pourquoi tu proposais divisible par 120.
Je l'ai compris en continuant la lecture de mon manuel po-rousski : lorsqu'un entier est divisible par plusieurs entiers, il est divisible par le PPCM (NOK en russe) de ces entiers. Or, le PPCM de 2, 3, 4, 5, 6, 8 est précisément 120.

Bonne journée.

Questions, sinon :

Est-ce que je ne suis pas trop présent sur nos forums ?

Est-ce que proposer comme je l'ai fait tout à l'heure un exercice vu sur un manuel, russe ou non, et qui me semble intéressant, est une démarche pertinente ?
(Il est fort possible que je n'aie pas de réponses de la part de lycéens qui auront, par curiosité, voulu se frotter à l'exercice.  Ils écrivent pour demander de l'aide sur tel ou tel exercice qu'ils ont concrètement à résoudre ; pas pour résoudre un exercice qu'on leur propose.)

Bonsoir,

Certes, le polynôme se factorise en $(n - 7)(n - 2)(n - 1)n(n +1)(n + 2)(n+ 7)$. Il est donc divisible par 2, par 3, par 4, par 5.

Mais je ne vois pas pour l'instant comment déterminer la ou les conditions pour lequel il est divisible par 7.

Pour n = 0, n = 1, n = 2, le polynôme est égal à 0, et est donc divisible par 7.
La première valeur de n pour laquelle le polynôme est divisible par 7 est 5. (Le polynôme est alors égal à -60 480, et 480 - 60 = 420 est divisible par 7.)

Merci de me donner une piste.

PS : Je ne suis pas un grand fan de l'arithmétique...