Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

  Je rebondis sur un petit échange avec Glozi lancé ici : https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=15475

Dans un anneau (commutatif) A, 0 doit-il être considére comme diviseur de zéro?

Si on s'en tient à la définition de diviseur, $a$ divise $c$ s'il existe $b$ tel que $ab=c$, alors tout élément de $A$ serait diviseur de zéro, ce qui ne serait pas cohérent.

Une définition pourrait être : $a$ est un diviseur de zéro s'il est non nul et s'il existe $b$ non nul tel que $ab=0$.

Avantage : Ceci permet de définir facilement un anneau intègre comme un anneau sans diviseurs de zéros.
Inconvénient : $0$ n'est pas un diviseur de zéro, alors comment écrire pgcd(0,0)=0???

Autre possibilité (celle qui est donnée par Bourbaki - une référence tout de même ) : $a$ est un diviseur de zéro s'il existe $b$ non nul tel que $ab=0$. Et donc $0$ est un diviseur de $0$...

La page anglaise de Wikipedia dit qu'il vaut mieux inclure $0$ comme diviseur de $0$, sinon certains énoncés deviennent moins jolis (par exemple, l'ensemble des éléments d'un anneau qui ne sont pas diviseurs de zéros est stable par multiplication - à vrai dire, je ne comprends pas bien l'argument, et l'exemple des anneaux intègres va dans l'autre sens....).

Bref, je ne sais plus quoi en penser!

F.