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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)

Wiwaxia
23-05-2022 20:19:51
Bernard-maths a écrit :

... Je vois que Wiwaxia commence à balancer des formules ...

Cela m'a paru incomparablement plus facile que de dessiner un assemblage de N3 petits cubes.

▼Texte caché

Et pour continuer sur la lancée, les nombres respectifs de ceux d'entre ces derniers présentant 2 ou 3 faces peintes sont respectivement:

N2 = 12(N - 2) , N3 = 8 .

Les justifications m'ont paru immédiates - ce n'est évidemment pas un argument mathématique ...

Bernard-maths a écrit :

Même question : trouver n pour avoir le même nombre que les cubes non peints ...

▼Texte caché

# N2 = N0 entraîne 12(N - 2) = (N - 2)3,
donc l'équation 12 = (N - 2)2 dépourvue de solutions entières.
# Par contre pour N3 = N0 , on obtient 8 = (N - 2)3 soit encore: N - 2 = 2 .

Les petits cubes présentant au maximum 3 faces peintes, leur nombre total est donné par la somme des 4 termes précédemment définis:

▼Texte caché

Ntot = N0 + N1 + N2 + N3 ,

ce qui conduit à:

Ntot = (N - 2)3 + 6(N - 2)2 + 12(N - 2) + 8 = ...
= (N3 - 3*2N2 + 3*4N - 8) + 6(N2 - 4N + 4) + (12N - 24) + 8 = N3

On retrouve bien la valeur initiale.

Bernard-maths
23-05-2022 15:12:39

Bonjour à tous !

Je vois que Wiwaxia commence à balancer des formules ... J'ai donc envie de prolonger l'énoncé en parlant des cubes peints sur deux faces, ou sur trois, na ! Même question : trouver n pour avoir le même nombre que les cubes non peints ...

A ce propos, il faut que je complète mes cogitations sur le cube 3 x 3 x 3 en 3 couleurs ...

B-m

Wiwaxia
23-05-2022 13:45:44

L'énoncé rappelle celui d'un problème récent ...

▼Texte caché

Le nombre de cubes dépourvus de toute face peinte est, en raison du fait qu'ils sont tous situés à l'intérieur:

N0 = (N - 2)3 ,

celui de ceux n'en comportant qu'une seule:

N1 = 6(N - 2)2 .

L'égalité de ces 2 nombres entraîne: N - 2 = 6 , d'où la réponse.   

Wiwaxia
23-05-2022 13:32:03

Re-bonjour,

yoshi a écrit :

... Un point P est à l’intérieur d’un triangle équilatéral ABC. Soient Q, R et S les pieds respectifs des perpendiculaires aux côtés [AB],[BC] et [AC] et passant par P. Si PQ=1 cm, PR=2 cm et PS=3 cm, combien mesure un côté du triangle ABC ?

Il y a un lien direct entre les hauteurs (PQ, PR, PS) et les aires des triangles correspondants (PAB, PBC, PCA) ...

▼Texte caché

... Et comme la juxtaposition de ces derniers conduit au grand triangle (ABC), l'aire de celui-ci est égale à la somme des aires de ceux-là:

S(ABC) = S(PAB)  + S(PBC) + S(PCA) = (1/2)(PQ*AB + PR*BC + PS*CA)

soit encore: (1/2)d*d(√3/2) = (d/2)(PQ + PR + PS)

d'où:   d = (PQ + PR + PS)2/√3     

yoshi
23-05-2022 13:28:42

Re,

Une solution : utiliser les balises [ spoiler=texte ] et [/spoiler ]
(sans les espaces)
^_^

@+

Bernard-maths
23-05-2022 12:43:35

Merci Yoshi de penser à moi !

J'ai les réponses, mais je ne veux pas influencer les autres chercheurs habituels ...

Que je souhaite nombreux !

B-m

yoshi
23-05-2022 11:35:22

Bonjour,

Le 1er, dédié à Bernard-Maths :

Un cube d’arête $n$ cm est peint, puis découpé en $n^3$ petits cubes d’arête 1 cm. Ainsi certains de ces petits cubes n’ont aucune face peinte, d’autres en ont une, deux ou trois. Pour quel nombre $n$ le nombre de cubes qui n’ont pas de face peinte est-il égal à celui des cubes qui n’ont qu’une seule face peinte ?

Et le 2e :

Un point P est à l’intérieur d’un triangle équilatéral ABC. Soient Q, R et S les pieds respectifs des perpendiculaires aux côtés [AB],[BC] et [AC] et passant par P. Si PQ=1 cm, PR=2 cm et PS=3 cm, combien mesure un côté du triangle ABC ?

@+

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