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Une petite suite !

Pour finir ? Avec les "caprices" de GeoGebra ... Combien de solides (tétraèdres) de Meissner ?

Voici les arcs de l'objet : 6 rouges et 3 noirs. D'abord les 3 fuseaux rouges en l'air, puis par dessous !

Pourquoi ? Nous avons vu que si on garde un arc noir, il faut raboter l'arc opposé pour en faire un fuseau rouge ... ceci 3 fois. On aura donc à choisir 3 arcs noirs, et il y a 2 dispositions possibles : soit ils sont en triangle, comme ici, soit ils sont en étoile avec un sommet en commun.

Dans GeoGebra il y a un outil, en 3D, "Surface de révolution" dans le grand menu des pyramides et consort. Il faut choisir un objet en formr de courbe ... ici l'un des arcs rouges, à faire tourner de 70°51', autour d'une arête du tétraèdre. MAIS ici GeoGebra n'a pas voulu le faire pour n'importe quel arc rouge ! Toutefois il a tracé 3 fuseaux en étoile, ce qui est juste suffisant pour un des 2 cas possibles !

Je vous présente donc ce cas et vous laisse imaginer l'autre par échange de arcs noirs avec les fuseaux rouges ...

Le solide dessiné a combien de faces courbes ? Par dessus nous voyons les 3 fuseaux, puis 3 faces, telles que CJI (en haut de la figure), puis CIA et CAJ. Enfin par dessous une grande face AJI, qui est une face du tétraèdre initial de Reuleaux ! Donc 7 faces courbes.

Voici l'autre cas de figure, les fuseaux rouges ne sont colorés !

D'abord les 3 arcs noirs en haut en étoile, puis vus par dessous ... On va competr 3 faces triangulairesayant C en commun, puis les 3 fuseaux non colorés, et enfin par dessousune face limitée par les 3 arcs rouges "intérieurs", donc 7 faes courbes encore !

Mais cette fois ci, pas de face du tétraèdre de Reuleaux !

On a donc bien 2 solides, mais assez différents par la taille des faces ... ? Par contre ils devraient avoir le même volume ... vu qu'on rabote 3 fois de la même manière ???

Bon, je crois que je vais m'arrêter ici. Si vous avez des remarques ou questions, faites-les moi connaître !

En espérant sans erreur ... Cordialement, Bernard-maths

Bonsoir à tous !

La littérature sur Reuleaux existe bel et bien, mais pour ce que j'en ai vu, elle est discrète en figure, et quasi muette en explications détaillées ...

Alors, je rappelle le triangle de Reuleaux, qui tourne en roulant, on a une très belle animation sur Image des Mathématiques, donné au début par Yoshi. Je me suis attaché à déterminer les trajectoires des 3 sommets et du centre ... à terminer pour la trajectoire du centre O.

Ensuite, je m'étais par ailleurs imaginé le tétraèdre de Releaux, et ai travaillé sur son élaboration ... MAIS il n'est pas d'épaisseur constante !

Je vais expliquer comment j'ai réalisé certains tracés, qui m'ont permis de "voir" comment l'arranger pour le rendre d'épaisseur constante, je pense que Meissner a du suivre une voie analogue ... ?

D'abord le tétraèdre : on prend un tétraèdre régulier ACIJ, d'arête a, et par chacun de ses 4 sommets, on trace une sphère de centre le sommet, de rayon a, donc passant par les 3 autres sommets. Les 4 sphères se recoupent selon 6 arcs de cercles, dont les centres sont les milieux des arêtes de ACIJ. Je vous renvoie à la figure en discussion #5 pour voir ce tétraèdre de Reuleaux ...

La figure suivante vous montre en noir ces 6 arcs. L'arc du haut sur l'arête[IJ] a pour centre le milieu M de l'arête du bas [AC], dont réciproquement l'arc a pour centre le milieu Q de [IJ].Les arêtes vont 2 par 2, [IC] avec |JA], et [JC] ave [IA].

Sur la suivante, en plus vous y voyez 12 arcs rouges, qui sont les côtés des 4 triangles de Reuleaux que l'on peut tracer avec les 4 côtés triangulaires de ACIJ !

Les arcs rouges sont 2 par arête, mais dans les 2 plans des 2 faces de l'arête. Les arcs noirs sont dans les plans médiateurs des arêtes, donc "au milieu" de 2 arcs rouges (voir les faisceaux 3 au centre), qu'ils dépassent un peu vers l'extérieur (voir en haut et bas) !

La suite plus tard, bonne nuit, Bernard-maths

Bonsoir,

Je ne sais pas exactement ce que tu as tracé dans ton dernier dessin mais si on en croit la page suivante : https://fr.wikipedia.org/wiki/T%C3%A9tr … e_Reuleaux, le tétraèdre de Reuleaux n'est pas d'épaisseur constante...

La page https://fr.wikipedia.org/wiki/Solide_d% … _constante est aussi intéressante sur ce sujet !

Roro.

Bonjour,

Justement...
Je me demandai s'il ne serait pas possible d'améliorer le dispositif pour que seules les 2 roues (en pentagones de Reuleaux) d'un vélo aient ce mouvement de montée et descente (j'y réfléchissais de loin en loin), ce que me semblent suggérer les images animées de l'article d'Images-Maths...

Et si oui, quel intérêt aurait un pareil engin : après tout, je me souviens de la sensation provoquée par les plateaux non circulaires des vélos de l'équipe Sky...

Ensuite, je me demandais aussi quelle gueules gueules pourraient avoir ces polygones de Reuleaux adaptés à l'espace (devenus des polièdres, quoi), parce que les roues  du Chinois ne sont pas très loin de n'être que des polygones empilés...

@+

Merci Yoshi !

Je pense que ce vélo est excellent pour la digestion ... en effet en roulant, il monte et il descend, alternativement chaque roue, parfois en opposition (une en bas, l'autre en haut), parfois en "concordance" ? (les 2 en haut ou en bas) ...

Trajectoires à étudier selon les périmètres des roues ?

@ + donc !