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Bonjour,

J'ai complété le programme précédent par le calcul dans le repère (Mxy)
# des vecteurs unitaires (Uma, Umb, Umc) associés aux positions respectives des 3 points (A, B, C) - ce dernier étant placé sur la partie positive de l'axe (x'x), et (B) présentant une ordonnée positive,
# et de ceux (Wabc, Wbca, Wcab) associés aux bissectrices des angles (AB, AC), (BC, BA),(CA, CB);
d'après ce qui a été établi, ils sont théoriquement opposés, et leur déterminant nul.

Les valeurs obtenues pour ce dernier, au plus égales à environ 10^-18 en valeur absolue, restent compatibles avec la précision limite assurée par le logiciel (10^-19), compte tenu du cumul des erreurs d'arrondi accompagnant les calculs.

Les valeurs des normes ont été affichées à des fins de vérification.

Bonjour Bernard-maths,

Ton hypothèse suppose la donnée arbitraire des 3 cercles concentriques, donc celle de leurs rayons respectifs (R₁, R₂, R₃); on ne peut alors choisir, dans le cas particulier du périmètre maximal, que la position de l'un des 3 points (A, B, C); celles des deux autres s'en déduisent par les valeurs des angles (α) et (β), qui dépendent des rapports (R₃/R₁) et (R₃/R₂).

Cordialement, W.

Bonjour,

Les valeurs des rayons étant données, ainsi que les positions du centre commun (M) et de l'un des trois points (A, B, C), il est possible de déterminer celles des deux autres par l'exploration des valeurs de la fonction F(α, β) = [U_a² + U_b²]^1/2, et la recherche du zéro non-trivial sur le domaine [0,  π]².

La comparaison systématique de la valeur actuelle de la fonction F(α, β)
à celles observées aux quatre points voisins, de coordonnées (α ± h, β) , (α, β ± h), 
permet de localiser l'extremum dans des limites de plus en plus étroites, compatibles avec la précision des calculs effectués par le logiciel (Virtual Pascal, en l'occurrence). Le pas (h), initialement égal à (0.1), est divisé par (10) lorsque la plus faible valeur calculée correspond au point central.

Les mêmes valeurs des rayons (Rj = 1, 2, 3) conduisent aux résultats suivants:

La comparaison avec ceux découlant de la division de l'image en pixels (déjà partiellement publiés)

permet les constats suivants:
a) les limites obtenues pour les coordonnées (α, β) sont effectivement très proches des valeurs approchées citées auparavant - l'écart ne dépassant pas 0.1 ° ;
b) la valeur minimale obtenue (~ 3.0E^-19) apparaît très inférieure au maximum repéré sur le domaine (~ 0.57), et peut être considérée comme nulle; en effet le rapport F_min/F_max =  5.3E^-19 ,
quoique nettement supérieur au "epsilon machine" lié à la codification des nombres à virgule flottante (ici 2^-63 = 1.1E^-19) - s'explique aisément par la dérive due à la lourdeur des calculs.

Le procédé définit une suite double convergeant vers une limite unique sur un domaine relativement large - en fait tant que le point initial ne s'approche pas trop des frontières de la cuvette dont on recherche le point le plus bas:

Les coordonnées limites apparaissent indépendantes de leurs valeurs initiales; le calcul du minimum local conduit à des valeurs très faibles (F_min/F_max >~ 2.4E^-20) et très dispersées: il s'agit en fait d'un minimum nul.

Bonjour,

lemme
étant donnée une courbe [tex]\Gamma[/tex] (quelconque) et deux points A et B, le point C de [tex]\Gamma[/tex] avec CA+CB maximum (resp. minimum) est tel que la normale en C à [tex]\Gamma[/tex] soit bissectrice de [tex]\angle ACB[/tex]

en effet les courbes de niveau des points C avec CA+CB = constante sont des ellipses de foyers A et B
CA+CB sera maximum (resp. minimum) si [tex]\Gamma[/tex] est (localement) intérieure (resp. extérieurre) à cette ellipse
et donc si l'ellipse est tangente en C à [tex]\Gamma[/tex]
comme C est sur une ellipse de foyer A et B la normale commune aux deux courbes (perpendiculaire à la tangente commune) est bissectrice des rayons vecteurs CA et CB

si  [tex]\Gamma[/tex] est un cercle de centre M, la normale passe par M. CQFD

Par curiosité, j'ai regardé ce que l'on pouvait obtenir dans le cas R₁ = 1 , R₂ = 2 , R₃ = 3
par un graphe faisant apparaître les valeurs extrêmes de la norme du vecteur Grad(p) - plus précisément de son expression simplifiée.

Ce qui est en cause, c'est la présence d'un minimum nul hors des sommets du domaine; les valeurs données pour les angles sont bien sûr approchées; elles résultent d'un calcul rapide, lié à la résolution de l'image en un nombre fini de pixels.

La connaissance du maximum est indispensable à la détermination d'une échelle appropriée.

Bonjour,
Géogebra (encore lui...) m'a conduit à une autre conjecture qui, si elle était démontrée, deviendrait un lemme utile pour la suite. Voici le problème annexe :
Soit un cercle de centre M et deux points A et B situés à l'extérieur du cercle. Soit C un point du cercle. Trouver la position de C pour que CA+CB soit maximale.
Et la conjecture : CA+CB est maximale si (CM) est la bissectrice de l'angle ACB.

Bonjour,

Il y a bien une solution analytique au problème, mais son exploitation est assez difficile, et je ne vois pas comment faire apparaître la propriété géométrique évoquée ...