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Bernard-maths
13-02-2022 20:15:09

Bonsoir Wiwaxia, et les autres !

Je me suis rendu compte, et cela se confirme régulièrement, qu'il y a pour un objet plusieurs sortes d'équations !

Et selon ce que l'on cherche, il faut utiliser une forme plutôt qu'une autre ... c'est passionnant !!!

Evidement cela suppose qu'on ne soit pas limité dans le choix des fonctions utilisables ... comme dans Surfer.

Bonne soirée, Bernard-maths

Wiwaxia
13-02-2022 20:04:09

Bonjour Bernard-maths,

Ton imagination ne se tarit pas, et j'ai du mal à suivre toutes tes initiatives ... Pour ce qui est des équations cartésiennes définissant les surfaces algébriques en cause, elles sont en fait apparentées.

Bernard-maths a écrit :

... / ... Wiwaxia, j'ai essayé de reproduire avec Mapple les dessins de Surfer, mais ça passe pas ! Coeff, dimensions ??? ...

On a par exemple pour le cube:

x2n+2+y2n+2+z2n+2-b*(x2n+y2n+z2n)+c*bn = 0

équation dont la forme se justifie par des considérations d'homogénéité, (b) et (c) correspondant au carré d'une longueur; cela permet de donner à ces paramètres des valeurs pas trop éloignées de l'unité.

Les courbures y sont d'autant plus prononcées que les exposants sont plus élevés; l'image correspondait à la plus grande valeur admise par la présente version du logiciel: 2n + 2 = 30 , d'où n = 14 .

LBnsXJlJqLk_2-Cubes-N=02-et-14.png

Les deux surfaces correspondent aux valeurs n = 2 et 14 :
b = 0.40    c = 1.00    
b = 0.30    c = 0.10   
avec pour le dernier terme la modification mineure:  ... + 0.1*c*bn
la première valeur à donner à (c) étant assez faible.

Bernard-maths
13-02-2022 17:39:13

Bonjour à tous !

Pour Wiwaxia, en particulier, mais pour d'autres curieux aussi, je vous ai proposé en "Café mathématique" des octaèdres emboités !

Je vous invite à y aller voir : https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=14621

Bernard-maths

Bernard-maths
14-12-2021 19:09:13

Bonsoir à tous, et à Wiwaxia !

Wiwaxia, j'ai essayé de reproduire avec Mapple les dessins de Surfer, mais ça passe pas ! Coeff, dimensions ???

Par contre j'ai mis au point un carré à bordures extérieures droites, mais pas à l'intérieur :

KLosg5aAmOA_Cube-ar%C3%AAtes-2021-12-14.jpg

Je vais essayer avec les autres figures ... ?

Du coup j'ai exploité ce phénomène pour une formule de cube de Sierpinski, à l'étape 2 : enlevé d'abord 4 cubes du gros de départ, donc la moitié ; puis enlevé 16 =4*4 autres des 4 cubes restants. STOP, après c'est 64 cubes à enlever, etc ... 4^n !!! Voilà la bête :

KLospuPditA_Cube-Sierpinski-%C3%A9tape-2-2021-12-14.jpg

Si certains veulent la formule, qu'ils la demandent, elle est pas courte ... !

Pour la suite, ce que j'ai dit avant ...

Bernard-maths

Bernard-maths
12-12-2021 17:04:02

Bonsoir à tous !

La récrée est finie, on va voir la solution dans la foulée !

Il faut d'abord dédoubler cet objet pour le mettre à bonne hauteur vers le et vers le bas, donc sur abs(z) :

abs(abs(x) + abs(y) - r) + abs(abs(z) - r) - ep = 0, ce qui donne :

KLmqhSH5mNA_Carr%C3%A9-espace-2-2021-12-12.jpg

Puis il faut dupliquer cette formule pour avoir une équation produit = 0, en permutant les variables x, y et z :

(abs(abs(x) + abs(y) - c) + abs(abs(z) - c) - ep)*(abs(abs(y) + abs(z) - c) + abs(abs(x) - c) - ep^n)*(abs(abs(z) + abs(x) - c) + abs(abs(y) - c) - ep) = 0

KLmqqZHfKJA_Carr%C3%A9-espace-3-2021-12-12.jpg

Le rendu n'est pas très beau aux intersections ... MAIS on peut trafiquer un peu la formule en ajoutant des exposants n (aux bons endroits ...) pour jouer sur la forme des tubes ! Et aussi les affiner, ainsi on a presque un rendu filaire :


(abs(abs(x) + abs(y) - c)^n + abs(abs(z) - c)^n - ep^n)*(abs(abs(y) + abs(z) - c)^n + abs(abs(x) - c)^n - ep^n)*(abs(abs(z) + abs(x) - c)^n + abs(abs(y) - c)^n - ep^n) = 0

KLmqwgsDBPA_Carr%C3%A9-espace-4-2021-12-12.jpg

Voilà pour ce 1er exemple ! Les possibilités sont plus que nombreuses, à vous d'avoir des idées !

Dans la suite je vous proposerai peut-être le cube, le rhombicuboctaèdre, des croix, des gélules !

A plus, Bernard-maths

Bernard-maths
11-12-2021 17:36:57

Bonsoir à tous, et à Wiwaxia !

Voilà les belles images et équations de retour, merci Wiwaxia !

Certes il y a de belles choses à voir, sans doute avec surfer, qui manipule les puissances entières et les polynômes ...

Mais l'objectif que je poursuis encore à l'occasion, ce sont des équations de polyèdres ... qui ont besoin de faces planes, avec des angles entre-elles ! Et donc on doit utiliser la valeur absolue pour cela, et surfer ne la connaît point !!!


Alors pour la suite de mes arêtes, l'équation rouge, 1) n'est pas comprise par GeoGebra, qui permet par ailleurs de dessiner et animer, et 2) ne donne rien en 3D avec Maple ! Les traits sont trop fins et ne sont pas visibles ! J'ai essayé avec "thickness = n" pour les épaissir, mais j'ai pas réussi, syntaxe ???


Alors ? Si ça passe pas d'un côté, on essaye de l'autre ... On va considérer la ligne du carré, et donner du volume à cette ligne !!!?

Prenons : abs(x) + abs(y) = r, pour le carré en 2D ; puis : abs[ abs(x) + abs(y) - r ] + abs(z) = 0,  en 3D, dans le plan (xOy).

Enfin on lui donne du volume avec : abs{ abs[ abs(x) + abs(y) - r ] + abs(z) } = e >0. Avec r = 5, e = 1, pour Mapple !

KLlrIEVyDMA_Carr%C3%A9-espace-1-2021-12-11.jpg

Et voilà un joli polyèdre à 16 faces, d'allure carrée, de section carrée, avec un trou ... Pas mal ?


Reste à le dupliquer, comme on a fait au début avec GeoGebra. Saurez-vous le faire en vous inspirant de l'équation rouge ?


C'est tout pour ce soir, Bernard-maths.

Wiwaxia
11-12-2021 17:22:25
Bernard-maths a écrit :

L'égalité des exposants est surtout importante pour les termes en x, y et z. Pour r "rayon", aussi, et pour les écarts aussi, par principe d'homogénéité, mais pas indispensable ...

Exact, je me suis trompé car j'avais en tête un autre type d'équations.

On peut trouver des surfaces algébriques à (F- 1) trous qui entourent plus ou moins étroitement les sommets et les arêtes d'un polyèdre comportant (F) faces.

KLlqfxjkl0m_4-poly%C3%A8dres-720x719.png

Par exemple le cube, d'équation:
x^30+y^30+z^30-b*(x^28+y^28+z^28)+c*b^14 = 0 ;

# l'octaèdre, d'équation:
(x+y+z)^30+(x-y-z)^30+(y-z-x)^30+(z-x-y)^30-b*((x+y+z)^28+(x-y-z)^28+(y-z-x)^28+(z-x-y)^28)+(0.05*c)*b^14 = 0 (avec b = 0.56 et c = 0.42);

# le dodécaèdre rhombique:
(x+y)^30+(y+z)^30+(z+x)^30+(x-y)^30+(y-z)^30+(z-x)^30-b*((x+y)^28+(y+z)^28+(z+x)^28+(x-y)^28+(y-z)^28+(z-x)^28)+0.01*c*b^14 = 0 ;

# le prisme droit à base hexagonale:
(x+y+z)^30+(x-y-a*z)^30+(y-z-a*x)^30+(z-x-a*y)^30-b*((x+y+z)^28+(x-y-a*z)^28+(y-z-a*x)^28+(z-x-a*y)^28)+(0.100*c)*b^15 = 0 (avec a = 0 , b = 0.28 et c = 0.37).

Encore une publicité gratuite pour Surfer.

Bernard-maths
11-12-2021 10:17:13

Bonjour à tous, et à Wiwaxia !

L'égalité des exposants est surtout importante pour les termes en x, y et z. Pour r "rayon", aussi, et pour les écarts aussi, par principe d'homogénéité, mais pas indispensable ...

Puisque tu es réveillé, je vais te dire que l'autre jour, je suis tombé sur un os ! En essayant de résoudre le problème, je me suis aperçu qu'on pouvait carrément s'attaquer à des ... squelettes !!! Mais plutôt de poissons, car il s'agit d'ensembles d'arêtes !



En fait des polyèdres réduits à leurs arêtes ...

Comme on sait dessiner des courbes ou des polygones dans le plan, on a donc déjà une structure squelette, et si on passe en 3D, que peut-on faire et obtenir ?


Prenons un 1er exemple, avec le Cuboctaèdre :

Le cuboctaèdre s'obtient à partir d'un cube, en coupant les 8 sommets en passant par les milieux des 3 côtés adjacents, donc à la place de chaque sommet, il reste un triangle équilatéral, et sur les 6 faces du cube, ne restent que 6 carrés dont les sommets sont les milieux des côtés ... ouf ! Ici ne sont représentés que les 6 carrés en couleur ! Pas les triangles ...

KLlkQjG3OoA_Cubocta%C3%A8dre-squelette-1-2021-12-11.jpg

Comme on s'intéresse au squelette, on ne garde que les ar^tes ! Ici les carrés opposés sont de la même couleur qu'un carré dessiné en traits fins au centre ... les rouges, les verts et les bleus.


KLlkQ4PfRRA_Cubocta%C3%A8dre-squelette-2-2021-12-11.jpg

Commençons par les bleus : ABCD et IJKL sont parallèles à PQRS !

Or nous avons vu en #24, qu'une équation de PQRS est : abs(x) + abs(y) = a, a = 4 ici ... mais comme on est maintenant en 3D, il faut rajouter une condition sur z abs(z) = 0 !

Ce qui conduit à l'équation pour PQRS : abs[ abs(x) + abs(y) - a ] + abs(z) = 0 ...

Mais ceux qui nous intéressent, ce sont ABCD et IJKL, qui sont à des "altitudes" z = + ou - a ! Donc abs(z) - a = 0, d'où une équation pour ABCD et IJKL :  abs[ abs(x) + abs(y) - a ] + abs[ abs(z) - a ] = 0 ...

Par permutation sur les x, y, z, on obtient 2 autres formes pour les rouges et les verts, et finalement une équation pour les 12 arêtes, qui est (avec des (), [] et {}) :

{ abs[ abs(x) + abs(y) - a ] + abs[ abs(z) - a ] } { abs[ abs(y) + abs(z) - a ] + abs[ abs(x) - a ] } { abs[ abs(z) + abs(x) - a ] + abs[ abs(y) - a ] } = 0 !

Wiwaxia
11-12-2021 10:04:09

Bonjour,

Pour faciliter le paramétrage, tu devrais faire en sorte que les 3 termes présentent le même degré:

abs[ abs(x)2n + abs(y)2n - rn]  = e2n

Bernard-maths
10-12-2021 17:54:26

Bonsoir à tous !

Je vais vous présenter quelques exemples du "2ème principe" de courbe ou surface de niveau :

Exemple 1 : soit la courbe d'équation abs(x)n + abs(y)n = rn, et
la courbe associée abs[ abs(x)n + abs(y)n - rn  = en ]. r le "rayon", n l'exposant et e "l'écart" ... > 0 ou =0.

KLksiu3iJBA_Courbes-niveau-2%C3%A8me-2021-12-10.png

Pour les valeurs suivantes de n et e : 1 et 1 ; 2 et 2 ; 3 et 3 ; 2/3 et 1.5 ; 1.5 et 3  4 et 4 .

Notez que la courbe rouge est double ... SAUF si e est "trop grand", auquel cas la partie rouge intérieure disparaît !

Selon les valeurs de n, il faut ajuster e pour avoir ce qu'on veut .. je n'ai pas fait de calculs pour prévoir !!!



On peut même dupliquer le procédé (autant qu'on veut/peut ?),
par exemple : abs{abs[(abs(x))^n + (abs(y))^n - r^n] - e^n} = e'

KLktBtuJFVA_Courbes-niveau-2%C3%A8me-bis-2021-12-10.png

On voit se développer eq11 en double/double, autour des 2 parties de eq10 ... avec n = 1.5, e = 2, e' = 1.


N'hésitez pas à commenter, surtout si vous avez vu ça quelque part, ou du même genre, dites-le moi, merci !!!


La suite plus tard ... et Wiwaxia va en voir de belles !!! Bonne nuit.

Bernard-maths

Wiwaxia
10-12-2021 08:12:05

Bonjour Bernard-maths,

Pas mal, le résultat !
Je suppose que tu es parti de la liste des normales aux faces, qui passent par les milieux des arêtes du dodécaèdre ? Cela a dû être assez laborieux ...

Bernard-maths
09-12-2021 21:09:53

Bonsoir à tous, et à Wiwaxia !


Aujourd'hui j'ai trouvé une équation du triacontaèdre, je m'y suis mis il y a 2 jours, aux temps libres ...

Cet objet est présenté ici, car il n'apparaît pas dans la suite des 12 figures de la discussion #17. Alors que j'espérais le trouver, non ! Par contre, comme d'après Mathcurve, il est le dual de l'icocosidodécaèdre, je l'ai donc rajouté !

Pour les aspects techniques, j'en reparlerai en présentant les solides de Platon évoluant vers une forme rhombique, par "pyramidation" des faces ...

KLjutIjwGzA_Triaconta%C3%A8dre-2021-12-09.jpg

Equation sur Mapple :

KLjuviwIqdA_Triaconta%C3%A8dre-%C3%A9quation-2021-12-09.jpg

Voilà, bonne nuit, Bernard-maths

Bernard-maths
16-06-2021 19:46:59

Bonsoir Wiwaxia !

Merci pour ces références, je les regarderai dès un moment "libre" ...

pour l'instant, c'est un peu "la course" aux équations ... peu importe la couleur !!!?

Bonne soirée, Bernard-maths

PS : je cherche le "triacontaèdre rhombique", dual de l'icosidodécaèdre ... pour le moment.

Wiwaxia
16-06-2021 11:39:24

Bonjour Bernard-maths,

J'ai regardé ce que propose Maple: la coloration locale est bien envisagée soit en fonction de la position du point, soit en fonction de l'orientation de la normale (le vecteur gradient); il n'y est pas fait référence explicite au procédé de tracé du rayon lumineux - cela relève en fait du second procédé, et m'a peut-être échappé.

Cordialement,
W.

Si ces liens peuvent t'être utiles:
https://www.maplesoft.com/support/help/ … ath=plot3d

https://www.maplesoft.com/support/help/ … ot%2fcolor
https://www.maplesoft.com/support/help/ … fcolorfunc
https://www.maplesoft.com/support/help/ … olorscheme

https://www.maplesoft.com/support/help/ … Dquickview
https://www.maplesoft.com/support/help/ … yhedraplot
https://www.maplesoft.com/support/help/ … ath=geom3d
https://www.maplesoft.com/support/help/ … 2fpolyhedr

Bernard-maths
14-06-2021 20:31:25

Bonsoir Wiwaxia !

Je ne maitrise pas du tout encore les "coloriages" ! Je suis nouveau sur "maple", et je n'ai pas du tout eu le temps de m'occuper des couleurs ...

Geogebra permet de colorer les objets "identifiés", mais si je trace un objet, sa couleur est unique ! Si je le découpe en morceaux identifiables, je peux adapter les couleurs.

Avec maple, j'ai copié quelques "programmes", et je mets la figure que je veux, mais son coloriage ne m'est pas accessible ... pour le moment ?

C'est vrai qu'avec Paint, on peut jouer sur les couleurs, mais ça prend du temps, et ... je suis "pressé" eh eh !

Merci de suivre, et de tes conseils,

bonne soirée, bernard-maths

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