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Théorème de Mertens

Théorème : Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de nombres complexes telles que
  1. la série $\sum_n u_n$ soit absolument convergente;
  2. la série $\sum_n v_n$ soit convergente.
Alors le produit de Cauchy de ces deux séries, c'est-à-dire la série de terme général $$w_n=\sum_{k=0}^n u_kv_{n-k}$$ est une série convergente et on a : $$\sum_{n=0}^{+\infty}w_n=\left(\sum_{n=0}^{+\infty}u_n\right) \left(\sum_{n=0}^{+\infty}v_n\right) .$$

Si on ne suppose pas que l'une des deux séries est absolument convergente, alors le produit de Cauchy n'est pas toujours convergent. C'est le cas par exemple si $$u_n=v_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}.$$

Le théorème de Mertens admet la réciproque suivante : si la série $\sum_n u_n$ est telle que son produit de Cauchy par toute série convergente est convergente, alors la série $\sum_n u_n$ est absolument convergente.

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