Loi du Chi-2
On dit qu'une variable aléatoire $X$ suit la loi du $\chi^2$ à $n$ degrés de liberté si elle est absolument continue, et admet pour densité : $$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \frac 1{2^{n/2}\Gamma(n/2)}e^{-x/2}x^{\frac n2-1}&\textrm{si }x>0\\ 0&\textrm{sinon.} \end{array}\right.$$ $X$ admet alors une espérance et une variance $$E(X)=n\textrm{ et }V(X)=2n.$$
Courbe représentative de la densité :
La loi du $\chi^2$ intervient de la façon suivante : si $X_1,\dots,X_n$ sont $n$ variables aléatoires qui suivent une loi normale centrée réduite, alors la somme de leur carré $X_1^2+\cdots+X_n^2$ suit une loi du $\chi^2$ à $n$ degrés de liberté. Cette propriété fonde les test statistiques du $\chi^2.$
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