$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Loi du Chi-2

On dit qu'une variable aléatoire $X$ suit la loi du $\chi^2$ à $n$ degrés de liberté si elle est absolument continue, et admet pour densité : $$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \frac 1{2^{n/2}\Gamma(n/2)}e^{-x/2}x^{\frac n2-1}&\textrm{si }x>0\\ 0&\textrm{sinon.} \end{array}\right.$$ $X$ admet alors une espérance et une variance $$E(X)=n\textrm{ et }V(X)=2n.$$

Courbe représentative de la densité :

La loi du $\chi^2$ intervient de la façon suivante : si $X_1,\dots,X_n$ sont $n$ variables aléatoires qui suivent une loi normale centrée réduite, alors la somme de leur carré $X_1^2+\cdots+X_n^2$ suit une loi du $\chi^2$ à $n$ degrés de liberté. Cette propriété fonde les test statistiques du $\chi^2.$

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