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Théorèmes d'inversion locale et globale

Problématique

Si $f$ est une fonction d'une variable réelle définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb R$, si $f$ est $C^1$ sur $I$ et si sa dérivée ne s'annule pas, alors on sait que $f$ réalise une bijection de $I$ sur $f(I),$ que $f^{-1}$ est dérivable sur $f(I)$ avec la formule : $$(f^{-1})'(f(x))=\frac 1{f'(x)}.$$ Les théorèmes d'inversion locale et globale sont une généralisation de cette propriété aux fonctions de plusieurs variables.


Théorème d'inversion locale
Théorème : Soient $U$ un ouvert de $\mathbb R^n$, $a$ un point de $U$ et $f$ une fonction de $U$ dans $\mathbb R^n$ de classe $C^1$. On suppose que la différentielle de $f$ en $a$ est inversible. Alors il existe un ouvert $V$ contenant $a$ et un ouvert $W$ contenant $f(a)$ tels que $f$ soit un $C^1$-difféomorphisme de $V$ sur $W$. En outre, pour tout $x$ de $V$, on a : $$d(f^{-1})_{f(x)}=(df_x)^{-1}.$$ De plus, si $f$ est $C^k,$ $k\geq 1,$ alors $g$ est $C^k.$

Ce théorème exprime que, localement, au voisinage de $a$, l'application $f$ définit un changement de variables si et seulement la différentielle de $f$ en $a$ est inversible. Bien sûr, on peut tester l'inversibilité de cette différentielle en vérifiant que le déterminant jacobien est non nul. Il reste vrai si on remplace $C^1$ par $C^k$ ou si on considère une fonction définie sur un ouvert $U$ d'un espace de Banach à valeurs dans un espace de Banach $F.$

Un corollaire du théorème d'inversion locale est un théorème d'application ouverte :

Théorème : Soit $U$ un ouvert de $\mathbb R^n$ et soit $f : U \to \mathbb R^n$ une application de classe $\mathcal C^1$ telle que pour tout $x\in U,$ $df_x$ soit inversible. Alors $f$ est une application ouverte (c'est-à-dire que l'image de tout ouvert par $f$ est un ouvert).

Théorème d'inversion globale
Théorème : Soient $U$ un ouvert de $\mathbb R^n$ et $f$ une fonction de $U$ dans $\mathbb R^n$ de classe $C^1$ et injective. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :
  • pour tout $x$ de $U$ la différentielle de $f$ en $x$ est inversible;
  • $f(U)$ est un ouvert de $\mathbb R^n$ et $f$ est un $C^1$-difféomorphisme de $U$ sur $f(U)$.
De plus, on peut remplacer $C^1$ par $C^k$ pour $k\geq 1$.
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