Fonction gamma
Le nombre "factorielle $x$", défini par $x!=x\times (x-1)\times\cdots \times1$, ne semble pas pouvoir être défini lorsque $x$ n'est pas un entier naturel. Il existe toutefois une fonction qui prolonge naturellement la notion de factorielle aux réels, et même aux complexes.
Définition : Soit $z\in\mathbb C$ de partie réelle strictement positive. On pose
$$\Gamma(z)=\int_0^{+\infty}t^{z-1}e^{-t}dt.$$
Par les théorèmes usuels, on prouve que $\Gamma$ est dérivable (holomorphe), et que la dérivée est obtenue en dérivant sous le signe somme. La relation fonctionnelle suivante est prouvée par intégration par parties : pour tout $z\in\mathbb C$ avec $\Re e(z)>0$, $$\Gamma(z+1)=z\Gamma(z).$$ Comme de plus $\Gamma(1)=1$, on en déduit ensuite, par récurrence, que $\Gamma(n+1)=n!$ pour tout entier naturel $n$.
La fonction gamma est très importante pour les ingénieurs, car elle intervient dans le
calcul de nombreuses transformées de Laplace. Il existe des tables à leur disposition donnant des valeurs approchées de $\Gamma$.
Historiquement, la fonction $\Gamma$ a d'abord été introduite par Euler en 1729 comme limite d'un produit :
pour tout $z\in\mathbb C$ avec $\Re e(z)>0,$
$$\Gamma(z)=\lim_{n\to+\infty}\frac{(n-1)! n^z}{z(z+1)\cdots (z+n-1)}.$$
Cette formule est appelée formule d'Euler. Karl Weierstrass a lui
donné une écriture de $\Gamma$ comme produit infini, formule
connue maintenant sous le nom de formule de Weierstrass :
pour tout $z\in\mathbb C$ avec $\Re e(z)>0,$
$$\frac 1{\Gamma(z)}=ze^{\gamma z}\prod_{k=1}^{+\infty}\left(1+\frac zk\right)e^{-z/k}.$$
De plus, on peut prolonger la fonction $\Gamma$ en une fonction méromorphe sur $\mathbb C$ (et holomorphe sur
$\mathbb C\backslash \mathbb Z^-$) en l'écrivant
$$\Gamma(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n!(z+n)}+\int_1^{+\infty}t^{z-1}e^{-t}.$$
Ainsi prolongée, la fonction $\Gamma$ admet un pôle simple en chaque entier négatif $-n,$ avec $n\in\mathbb N,$
le résidu en ce pôle valant $\frac{(-1)^n}{n!}.$ Les formules d'Euler et de Weierstrass sont alors vraies pour
tout nombre complexe qui n'est pas un entier négatif.
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