Formule d'Euler-MacLaurin
Théorème : Soient $m$ et $n$ deux entiers, et $f:[m,n]\to\mathbb C$ une application de classe $\mathcal C^r$. Alors on a \begin{eqnarray*} f(m)+f(m+1)+\dots+f(n)&=&\displaystyle\int_m^n f(t)dt+\frac12\big(f(m)+f(n)\big)\\ &&\displaystyle\quad+\sum_{h=2}^r \frac{b_h}{h!}\left(f^{(h-1)}(n)-f^{(h-1)}(m)\right)+R_r \end{eqnarray*} avec $$R_r=\frac{(-1)^{r+1}}{r!}\int_m^nB_r(t)f^{( r)}(t)dt.$$ Les $b_n$ sont les nombres de Bernoulli, et les $B_n$ sont les polynômes de Bernoulli, définis sur [0,1] par la récurrence classique, et ensuite prolongés par 1-périodicité.
Cette formule permet notamment de calculer la valeur de la fonction zêta aux entiers pairs.
Cette formule a été découverte indépendamment par Euler
et MacLaurin vers 1735. Euler l'utilisait pour estimer la somme de séries qui convergent très lentement,
MacLaurin pour calculer des intégrales.
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