Combinaison
Définition et calcul
Définition :
$E$ étant un ensemble à $n$ éléments, on appelle combinaison de $p$ éléments de $E$ toute collection non ordonnée de $p$ éléments distincts de $E$, ie toute partie de $E$ à $p$ éléments.
On note $\binom np$ le nombre de combinaisons de $p$ éléments parmi $n$. On a :
$$\binom np=\frac{n!}{p!(n-p)!}.$$
Ex : Tirage par poignées.Une urne contient n boules numérotée de 1 à n. On tire simultanément p boules de U. Le nombre de tirages possibles vaut le nombre de combinaisons de p éléments parmi n.
On ne doit pas confondre combinaison et arrangement. Un arrangement est une suite ordonnée de p éléments, c'est-à-dire que, contrairement aux combinaisons, l'ordre intervient :
prenons l'exemple d'un ensemble E à 4 éléments E={a,b,c,d}. On cherche toutes les combinaisons et tous les arrangements à trois éléments :
- A partir des 3 lettres a,b,c, on ne peut former qu'une seule combinaison {a,b,c}, mais 6=3! arrangements : abc,acb,bca,bac,cab,cba.
- A partir des 3 lettres a,b,d, on peut également former une seule combinaison, mais 6 arrangements.
- De même avec les 3 lettres a,c,d et les 3 lettres b,c,d.
- Si on cherche le nombre de mains de 8 cartes que l'on peut avoir à la belote, on cherche le nombre de combinaisons de 8 cartes parmi 32 : La main (7 de coeur - valet de trèfle...) est en effet identique à la main (valet de trèfle, 7 de coeur,...)
- Si on cherche le nombre d'entiers de 3 chiffres ne s'écrivant qu'avec des chiffres impairs tous distincts, on cherche le nombre d'arrangements de 3 éléments parmi 5 ( {1,3,5,7,9} ). En effet, le nombre 731 est différent du nombre 371.
Les formules donnant les valeurs du nombre de combinaisons à p éléments dans un ensemble à n éléments sont connues depuis le XII è siècle. Cependant, les relations entre ces nombres, ainsi que leurs multiples applications, dont la formule du binôme (improprement appelée de Newton) ne seront établies qu'au XVIIè s. par Blaise Pascal, à la suite d'une longue correspondance avec Pierre de Fermat.
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