$p$-liste - Arrangement
Soit $E$ un ensemble. On appelle $p$-liste de $E$ toute suite de $p$ éléments $(x_1,\dots,x_p)$ où chaque $x_k$ est élément de $E.$
Exemples :
- $(a,n,a,n,a,s)$ est une 6-liste de $E=\{a,b,c,...,z\}.$
- tirage avec remise : Une urne U contient $n$ boules numérotés de 1 à $n.$ On tire successivement $p$ boules de U en remettant chaque fois dans l'urne la boule qu'on vient de tirer. On note $(x_1,\dots,x_p)$ la suite des numéros obtenus. Alors $(x_1,\dots,x_p)$ est une $p$-liste de $E=\{1,\dots,n\}.$ Le nombre de tirages possibles est donc $n^p.$
Soit $E$ un ensemble. On appelle arrangement de $p$ éléments de E toute $p$-liste d'éléments distincts de $E.$ On note $A_n^p$ le nombre d'arrangements de $p$ éléments parmi $n.$ On a : $$A_n^p=\frac{n!}{(n-p)!}=n(n-1)\cdots(n-p+1).$$ Cette formule s'établit par un raisonnement élémentaire. Pour le premier élément qu'on choisit, on a $n$ choix. Pour le deuxième élément, on a $n-1$ choix, etc...
Un arrangement de $n$ éléments d'un ensemble $E$ contenant $n$ éléments s'appelle une permutation de $E.$ D'après la formule précédente, il y a $n!$ permutations de $E.$
On peut aussi interpréter $A_n^p$ comme le nombre d'injections d'un ensemble à $p$ éléments dans un ensemble à $n$ éléments.
Exemples :
- tirage sans remise : Une urne U contient $n$ boules numérotés de 1 à $n.$ On tire successivement $p$ boules de U sans les remettre dans l'urne, et on note $(x_1,\dots,x_p)$ un résultat de cette expérience. Alors $(x_1,\dots,x_p)$ est un arrangement de $p$ éléments parmi $n.$ Il y a $A_n^p$ tirages différents possibles.
- $(a,n,a,n,a,s)$ n'est pas un arrangement de lettres de l'alphabet : il y a répétition.
- Les anagrammes du mot sucre correspondent à toutes les permutations de $E=\{s,u,c,r,e\}.$ Il y a $5!=120$ anagrammes du mot sucre.