Système fondamental de solutions d'une équation différentielle
Soit $Y'(t)=A(t)Y(t)$ un système linéaire d'équations différentielles (c'est-à-dire que $Y$ désigne un vecteur de $\mathbb R^n$, et $A(t)$ est une matrice carrée de taille $n$, définie sur un intervalle $I$ telle que $t\mapsto A(t)$ est continue). On sait que l'ensemble des solutions de cette équation différentielle est un espace vectoriel de dimension $n$.
On fixe une base $B$ de $\mathbb R^{n}$, dans laquelle seront notamment calculés tous les déterminants.
Le wronskien permet de déterminer si un ensemble de solutions est un système fondamental :
- $(Y_{1},…,Y_{n})$ est un système fondamental de solutions.
- Il existe un $t$ de $I$ avec $W(t)$ non nul.
- Pour tout $t$ de $I$, $W(t)$ est non nul.
Si $y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_{0}y=0$ est une équation différentielle linéaire scalaire d'ordre $n,$ l'ensemble des solutions est aussi un espace vectoriel de dimension $n;$ on définit de la même façon le fait d'être un système fondamental de solutions. Si $y(t)$ est une solution, on associe le vecteur $Y(t)$ définie par $Y(t)=(y(t),y'(t),...,y^{(n-1)}(t))$. Le wronskien d'une famille $y_{1},…,y_{n}$ de $n$ solutions est le déterminant de la famille $Y_{1},…,Y_{n}$. Le théorème reste vrai dans ce contexte.