Intégrales de Wallis

On appelle intégrales de Wallis les intégrales suivantes, définies pour tout $n\in\mathbb N$ : $$W_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n(x)dx=\int_0^{\pi/2}\cos^n(x)dx.$$ La suite $(W_n)$ est une suite décroissante de réels positifs qui tend vers $0.$ On peut calculer la valeur de chaque $W_n$ en obtenant une formule de récurrence par une intégration par parties : pour tout $n\in\mathbb N,$ $$(n+2)W_{n+2}=(n+1)W_n.$$ On obtient alors, pour tout $p\in\mathbb N,$ $$W_{2p}=\frac{(2p)!}{2^{2p}(p!)^2}\times\frac{\pi}2$$ $$W_{2p+1}=\frac{2^{2p}(p!)^2}{(2p+1)!}.$$ Les intégrales de Wallis interviennent notamment dans le calcul de la constante intervenant dans la formule de Stirling. Réciproquement, une fois la formule de Stirling établie, on obtient l'équivalent suivant au voisinage de l'infini : $$W_n\sim_{+\infty}\sqrt{\frac{\pi}{2n}}.$$