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Vitesse de convergence

Lorsqu'un mathématicien étudie une suite $(u_n)$, son but est souvent de savoir si cette suite converge vers une limite $\ell$. Cela est très intéressant en soi, mais bien souvent cette limite est une constante importante en mathématiques et en physique (par exemple, $\pi$). Pratiquement, il est parfois important d'avoir une valeur approchée de cette constante. Les valeurs prises par la suite sont une bonne valeur approchée, mais à partir de quel rang pourra-t-on être satisfait de l'approximation donnée? On est donc amené à étudier le comportement de $|u_n-\ell|$ : cette quantité désigne la vitesse de convergence de la suite.

On a l'habitude de classer la vitesse de convergence suivant l'échelle suivante, que nous présentons de la convergence la moins rapide à la plus rapide :

  • la convergence lente : le reste $|u_n-\ell|$ est de l'ordre de $C/n^a$, où $a>0.$ C'est par exemple l'ordre de convergence de la suite $(S_n)$ avec $S_n=\sum_{k=1}^n \frac1{k^2}.$
  • la convergence géométrique : le reste est de l'ordre de $C \cdot k^n$, avec $0<|k|<1.$ C'est par exemple la vitesse de convergence que nous donne le théorème du point fixe pour les applications contractantes.
  • la convergence factorielle : le reste est de l'ordre de $C/[ (n!)^a\cdot n^b]$, avec $a>0.$
  • la convergence supergéométrique (ou hypergéométrique) : le reste est de l'ordre de $C\cdot k^{2^n}$, avec $0<|k|<1.$ Ce mode de convergence est excessivement rapide. On l'obtient sous certaines hypothèses avec la méthode de Newton de recherche de la racine d'une équation.
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