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Dictionnaire de mathématiques > Analyse > Intégration >

Théorème de Vitali-Lebesgue

Le théorème de Vitali (parfois appelé théorème de Vitali-Lebesgue) est un raffinement du théorème de convergence dominée, qui donne une caractérisation de la convergence d'une suite de fonctions intégrables $(f_n)$ vers $f$ dans $L^1$.

Théorème : Soit $(X,\mathcal A,\mu)$ un espace mesuré avec $\mu$ finie. Soit $(f_n)$ une suite de fonctions de $L^1(X)$ et soit $f$ une fonction mesurable définie sur $X$. Alors $(f_n)$ converge vers $f$ dans $L^1$ si et seulement si
  • $(f_n)$ converge en mesure vers $f$.
  • La famille $(f_n)$ est uniformément intégrable.
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