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Dictionnaire de mathématiques > Analyse > Fonctions d'une variable réelle >

Fonctions à variations bornées

Une fonction $f$ est dite à variations bornées sur un segment $[a,b]$ s'il existe une constante $M$ telle que, quelle que soit la subdivision $a=x_1<x_2<\dots<x_N=b$ de $[a,b]$, alors $$\sum_{i=1}^{N-1} |f(x_{i+1}-f(x_i)|\leq M.$$ La quantité $$\sup\left\{\sum_{i=1}^{N-1} |f(x_{i+1}-f(x_i)|:\ N\geq 2,\ a=x_1<\dots<x_N=b\right\}.$$ s'appelle la variation totale de la fonction sur $[a,b]$.

Il est clair qu'une fonction monotone est à variations bornées, car on peut toujours enlever les valeurs absolues lors du calcul de la variation totale, et celle-ci est égale à $|f(b)-f(a)|$. Il est beaucoup plus difficile que les fonctions à variation bornées sont presque les fonctions monotones : en réalité, elles sont les différences de deux fonctions croissantes.

Théorème : Une fonction est à variations bornées sur $[a,b]$ si et seulement si elle est la différence de deux fonctions croissantes sur $[a,b]$.

En particulier, les fonctions à variations bornées héritent de nombreuses propriétés des fonctions monotones, par exemple que leur nombre de points de discontinuité est au plus dénombrable.

Cette condition a été introduite par Camille Jordan afin d'étendre le théorème de Dirichlet de convergence des séries de Fourier. C'est une condition également utile dans certaines théories de l'intégration.
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