Variation d'une mesure
Soit $(\Omega,\mathcal A)$ un espace mesurable et $\mu$ une mesure signée sur $(\Omega,\mathcal A)$. Alors on sait que $\mu$ se décompose de façon unique en $\mu=\mu^+-\mu^-$, où $\mu^+$ et $\mu^-$ sont des mesures positives sur $(\Omega,\mathcal A)$. On appelle variation de la mesure $\mu$ la mesure notée $|\mu|$ et définie par $$|\mu|=\mu^++\mu^-.$$ La variation totale de $\mu$ est alors la quantité $|\mu|(\Omega).$
Soit $(\Omega,\mathcal A)$ un espace mesurable et $\mu$ une mesure complexe sur $(\Omega,\mathcal A)$. On appelle variation de $\mu$ la mesure notée $|\mathcal \mu|$ est définie par $$|\mu|(A)=\sup\left\{\sum_{k=1}^n |\mu(A_k)|:\ (A_k)_{k=1}^n\subset\mathcal A^n \textrm{ est une partition de A}\right\}.$$ Cette définition coïncide avec celle donnée dans le paragraphe précédent lorsque la mesure $\mu$ est signée et finie.
La variation totale de $\mu$ est alors la quantité $|\mu|(\Omega).$
La variation de $\mu$ est caractérisée par la propriété suivante : c'est la plus petite mesure positive $\nu$ sur $\mathcal A$ telle que, pour tout $A\in\mathcal A,$ $$|\mu(A)|\leq \nu(A).$$