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Dictionnaire de mathématiques > Probabilité et statistiques > Probabilités > Variables aléatoires >

Variance et écart-type d'une variable aléatoire

Soit $(\Omega,\mathcal T,P)$ un espace de probabilité et $X:\Omega\to\mathbb R$ une variable aléatoire. Lorsque $X^2$ est d'espérance finie, on appelle variance de $X$ le réel $$V(X)=E\big( (X-E(X))^2\big)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2$$ et écart-type de $X$ le réel $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$.

Comme pour une série statistique, la variance mesure la dispersion d'une variable aléatoire : plus précisément, elle est égale à la moyenne du carré des écarts à la moyenne. Elle vérifie les propriétés suivantes :

  • pour tous réels $a$ et $b,$ $V(aX+b)=a^2V(X).$
  • si $X_1,\dots,X_n$ des variables aléatoires admettant des moments d'ordre $2$. Alors $$V\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)=\sum_{i=1}^n V(X_i)+2\sum_{1\leq i<j\leq n}\big(E(X_iX_j)-E(X_i)E(X_j)\big).$$ En particulier, si les $X_i$ sont deux à deux indépendantes, alors $$V\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)=\sum_{i=1}^n V(X_i).$$
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