$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Dictionnaire de mathématiques > Analyse > Intégration >

Valeur principale

  Soit $f$ une fonction définie sur $[a,b]$, sauf au point $c$ appartenant à $[a,b]$, dont l'intégrale impropre est divergente. Ceci signifie que l'une des limites
n'existe pas. Il est pourtant parfois possible de donner un sens à en considérant des voisinages symétriques de $c$. Ainsi, si la quantité
admet une limite quand , on appelle cette limite la valeur principale de .

  La notion de valeur principale admet aussi un sens (proche) dans la théorie des distributions. Si $f$ est une fonction définie sur $\mathbb R$, localement intégrable, on sait qu'elle définit une distribution. Considérons maintenant $f(x)=1/x$, $f(0)=0$, qui n'est pas intégrable en 0, donc non localement intégrable. Si maintenant on considère $g$ une fonction de classe $C^\infty$ à support dans le compact $[-R,R]$, alors on a :
Dans le membre de droite, le module de la fonction que l'on intègre est majoré par $\max{|g'(x)|; x \in[-R,R]}$. Ceci est intégrable sur $[-R,R]$ - c'est une constante! - et donc l'intégrale admet une limite quand . On appelle valeur principale de $1/x$, noté $vp(1/x)$, la distribution définie par
La considération d'intégrale en valeurs principales remonte à Cauchy.
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