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Théorème des valeurs intermédiaires - Dichotomie


  Le théorème des valeurs intermédiaires est le résultat suivant :

Théorème : Soit $f : [a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue, vérifiant $f(a)\leq 0$ et $f(b)\geq 0$. Alors il existe $c\in[a,b]$ vérifiant $f(c)=0$.

Corollaire : L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
  Remarquons que le théorème des valeurs intermédiaires donne l'existence d'une solution à l'équation $f(x)=0$, mais rien concernant l'unicité (penser par exemple à $\cos(x)=0$ sur l'intervalle $[0,5\pi]$. C'est aussi un théorème spécifique pour les fonctions à valeurs réelles. Il ne fonctionne pas par exemple avec la fonction $f(\theta)=e^{i\theta}$ entre $0$ et $\pi$.

La première démonstration complète du théorème des valeurs intermédiaires, ne reposant pas sur l'intuition géométrique, est due à Bernard Bolzano en 1817.
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