Théorème des valeurs intermédiaires - Dichotomie
Le théorème des valeurs intermédiaires est le résultat suivant :
Théorème : Soit $f : [a,b]\to\mathbb R$ une fonction
continue, vérifiant $f(a)\leq 0$ et $f(b)\geq 0$. Alors il existe $c\in[a,b]$ vérifiant $f(c)=0$.
Corollaire : L'image d'un intervalle
par une fonction continue est un intervalle.
Remarquons que le théorème des valeurs intermédiaires donne l'existence d'une solution à
l'équation $f(x)=0$, mais rien concernant l'unicité (penser par exemple à $\cos(x)=0$ sur l'intervalle
$[0,5\pi]$. C'est aussi un théorème spécifique pour les fonctions à valeurs réelles.
Il ne fonctionne pas par exemple avec la fonction $f(\theta)=e^{i\theta}$ entre $0$ et $\pi$.
La première démonstration complète du théorème des valeurs intermédiaires, ne reposant pas sur l'intuition
géométrique, est due à Bernard Bolzano en 1817.
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