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Valeur d'adhérence

On appelle valeur d'adhérence d'une suite $(x_n)$ d'éléments d'un espace vectoriel normé $E$ tout élément $\ell$ de $E$ vérifiant une des conditions équivalentes suivantes :

  • il existe une suite extraite $(x_{\varphi(n)})$ de $(x_n)$ qui converge vers $\ell.$
  • pour tout $r>0$, $\{n\in \mathbb N:\ x_n\in B(\ell,r)\}$ est infini.

Exemples :

  • toute suite convergente admet sa limite comme valeur d'adhérence, et c'est sa seule valeur d'adhérence.
  • la suite $(-1)^n$ admet deux valeurs d'adhérence : $-1$ et $1.$
  • l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite $(\sin(n))_{n\in\mathbb N}$ est l'intervalle $[-1,1].$
  • si $(u_n)$ est une suite réelle bornée, alors $(u_n)$ admet au moins une valeur d'adhérence. Sa plus grande valeur d'adhérence est égale à sa limite supérieure, et sa plus petite valeur d'adhérence est égale à sa limite inférieure. Plus généralement, toute suite bornée dans un espace vectoriel normé de dimension finie admet une valeur d'adhérence.

Une suite à valeurs dans une partie compacte de $E$ admet toujours une valeur d'adhérence. L'énoncé suivant caractérise alors la convergence par l'unicité de cette valeur d'adhérence.

Théorème : Soit $(u_n)$ une suite de $E$ et $K$ une partie compacte de $E$ telle que $u_n\in K$ pour tout entier $n$. Alors $(u_n)$ converge si et seulement si elle admet une unique valeur d'adhérence.
Corollaire : Si $E$ est de dimension finie, une suite bornée converge si et seulement si elle admet une unique valeur d'adhérence.

Signalons par ailleurs que l'ensemble des valeurs d'adhérence de $(u_n)$ s'écrit sous la forme suivante : $$\bigcap_{n\geq 0}\overline{\{u_k:\ k\geq n\}}.$$ En particulier, l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite est un fermé puisqu'il est l'intersection de fermés.

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