Elément neutre et régularité dans les structures algébriques
Soit $E$ un ensemble muni d'une loi de composition interne $T.$ Un élément $e$ de $E$ vérifiant $xTe=eTx=x$ pour tout $x$ de $E$ est dit élément neutre pour la loi $T.$ On dit encore que le magma $(E,T)$ est unifère.
Dans un tel magma unifère, un élément $x$ est dit symétrisable
- à gauche s'il existe $x'$ dans $E$ tel que $xTx'=e.$
- à droite s'il existe $x''$ dans $E$ tel que $x''Tx=e.$
Il sera dit simplement symétrisable s'il est symétrisable à gauche et à droite, et si $x'=x''.$
Un élément $x$ d'un magma $E$ est dit régulier
- à gauche si pour tous $a,b$ de $E,$ $xTa=xTb$ implique $a=b.$
- à droite si pour tous $a,b$ de $E,$ $aTx=bTx$ implique $a=b.$
Il sera dit simplement régulier s'il est régulier à droite et à gauche.
Parfois, on appelle semi-groupe un magma commutatif, associatif, unifère, dans lequel tout élément est régulier (ouf!).
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