Étude du trinôme du second degré
Le but de ce petit article est de présenter comment résoudre l'équation du second degré $ax^2+bx+c=0$, où $x$ est l'inconnue, et $a$, $b$ et $c$ sont pour commencer des nombres réels avec $a$ non nul. L'idée est d'utiliser l'identité remarquable $u^2-v^2=(u-v)(u+v)$. Pour cela, nous commençons par la :
Factorisons par a : $$ax^2+bc+c=a\left(x^2+\frac ba x+\frac ca\right).$$ Nous reconnaissons dans $x^2+\frac ba x$ le début du développement d'un carré, à savoir : $$\left(x+\frac b{2a}\right)^2=x^2+\frac ba x+\frac{b^2}{4a^2}.$$ Nous obtenons donc : $$ax^2+bx+c=a\left(\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\left(\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right)\right)$$ qui est la forme canonique du polynôme du second degré $ax^2+bx+c$. Nous allons discuter de plusieurs cas suivant la valeur du :
Posons $\Delta=b^2-4ac$ le discriminant de $ax^2+bx+c$.
- Si $\Delta>0$, on pose $u=x+\frac b{2a}$, et $\delta=\frac{\sqrt\Delta}{2a}$. Alors : $$ ax^2+bx+c=a(u^2-\delta^2)=a(u-\delta)(u+\delta).$$ L'équation $ax^2+bx+c=0$ est donc équivalente à $u=\delta$ ou $u=-\delta$. Elle admet deux racines simples, qui sont : $$x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a},\ x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}.$$
- Si $\Delta=0$, il y a une racine réelle double : $$x_0=\frac{-b}{2a}.$$
- Si $\Delta<0$, il n'y a pas de racines réelles.
Dans le cas où il y a deux racines réelles $x_1$ et $x_2$, nous avons le tableau de signes suivant :
Dans les autres cas, $ax^2+bx+c$ est toujours du signe de $a$, avec éventuellement annulation à la racine double.
Sur $\mathbb C$, un trinôme du second degré a toujours des racines. Dans le cas où $\Delta<0$, on a des racines complexes conjuguées : $$x_1=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a},\ x_2=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}.$$ Dans le cas où les coefficients $a$, $b$ et $c$ sont des complexes, la méthode est la même,et on a toujours une racine car tout nombre complexe admet une racine carrée.
Lorsque $b$ est un nombre pair, pour simplifier les calculs, on introduit parfois le discriminant réduit. Pour cela, on pose $b=2b'$. Le discriminant réduit vaut : $$\Delta'=b'^2-ac.$$ Les racines sont alors données, dans le cas où le discriminant est positif, par la formule : $$x_1=\frac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a},\ x_2=\frac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}.$$