$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th
Dictionnaire de mathématiques > Analyse > Suites et séries de fonctions > Séries de Fourier >

Polynôme et série trigonométrique

On appelle polynôme trigonométrique de degré inférieur ou égal à $N\in\mathbb N$ toute fonction de la forme $$x\mapsto \sum_{k=-N}^N c_ke^{ikx},\ (c_k)\subset\mathbb C^{2N+1}.$$ Compte tenu de la relation $e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx),$ il revient au même de dire qu'un polynôme trigonométrique est une fonction de la forme $$x\mapsto a_0+\sum_{k=1}^N \big(a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\big)$$ où les $a_n$ et $b_n$ sont reliés aux coefficients $c_n$ par les relations $$a_0=c_0,\ a_n=c_n+c_{-n},\ b_n=i(c_n-c_{-n}),\ n\geq 1.$$

On appelle série trigonométrique toute série de fonctions de la forme $$x\mapsto c_0+\sum_{k=1}^{+\infty}\big(c_ke^{ikx}+c_{-k}e^{-ikx}\big).$$ Comme pour les polynômes trigonométriques, il revient au même de dire qu'une série trigonométrique est une série de fonctions de la forme $$x\mapsto a_0+\sum_{k=1}^{+\infty} \big(a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\big)$$ avec les mêmes relations sur les coefficients que précédemment.

Les polynômes trigonométriques permettent d'approcher les fonctions continues $2\pi$-périodiques.

Théorème : Toute fonction continue $2\pi$-périodique de $\mathbb R$ dans $\mathbb C$ est limite uniforme sur $\mathbb R$ d'une suite de polynômes trigonométriques.
Consulter aussi
Recherche alphabétique
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Recherche thématique
  • Algèbre
  • Analyse
  • Applications
  • Arithmétique
  • Probabilité et statistiques
  • Géométrie
  • Fondements
  • Histoire
  • Mathématiques discrètes
  • Mathématiques interactives